Раздел второй. суждение

ПОНЯТИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ЕГО СТРУКТУРА

Под доказательством в логике понимается процедура установления истинности некоторого утверждения путем приведения других утверждений, истинность которых уже известна и из которых с необходимостью вытекает первое
.

В доказательстве различаются тезис
— утверждение, которое нужно доказать, основание
(аргументы) — те положения, с помощью которых доказывается тезис, и логическая связь
между аргументами и тезисом. Понятие доказательство всегда предполагает, таким образом, указание посылок, на которые опирается тезис, и тех логических правил, по которым осуществляется преобразования утверждений в ходе доказательства.

Доказательство — это правильное умозаключение с истинными посылками. Логическую основу каждого доказательства (его схему) составляет логический закон
.

Доказательство — это всегда в определенном смысле принуждение.

Задача доказательства — исчерпывающе утвердить обоснованность тезиса. Раз в доказательстве идет речь о полном подтверждении, связь между аргументом и тезисом должна носить дедуктивный характер
.

По своей форме доказательство — дедуктивное умозаключение или цепочка умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому положению.

Обычно доказательство протекает в очень сокращенной форме. Видя чистое небо, мы заключаем: «Погода будет хорошей». Это доказательство, но до пределов сжатое. Опущено общее утверждение: «Всегда, когда небо чистое, погода будет хорошей». Отпущена также посылка «Небо чистое». Оба эти утверждения очевидны, их незачем произносить вслух.

Нередко в понятие доказательства вкладывается более широкий смысл: под доказательством понимается любая процедура обоснования истинного тезиса, включающая как дедукцию, так и индуктивное рассуждение, ссылки на связь доказываемого положения с фактами, наблюдениями и т.д.

Как правило, широко понимается доказательство и в обычной жизни. Для подтверждения выдвинутой идеи активно привлекаются факты, типичные в определенном отношении явления и т.д. Дедукция в это случае, конечно, нет, речь может идти только об индукции. Но тем не менее предлагаемое обоснование нередко называют доказательством.

Определение доказательства включает два центральных понятия логики: понятие истины
и понятие логического следования
. Оба эти понятия не являются в достаточной мере ясными, значит, определяемое через них понятие также не может быть отнесено к ясным.

Многие не являются ни истинными, ни ложными, т.е. лежат вне «категории истины». Оценки, нормы, советы, декларации, клятвы, обещания и т.п. не описывают каких-то ситуаций, а указывают, какими они должны быть, в каком направлении их нужно преобразовывать. Очевидно, что оперируя выражениями, не имеющими истинного значения, можно и нужно быть и логичным и доказательным. Встает, таким образом, вопрос о существенном расширении понятия доказательства, определяемого в терминах истины. Задача переопределения доказательства пока не решена ни логикой оценок,
ни деотической
(нормативной) логикой
.

Образцом доказательства, которому в той или иной мере стремятся следовать во всех наук, является математическое доказательство. Математическое доказательство является парадигмой доказательства вообще, но даже в математике доказательство не является абсолютным и окончательным.

Бизнес и финансы

БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Структура суждения

Суждение включает в себя следующие элементы: субъект, предикат, связка и квантор.

1. Субъект (лат. subjektum – «лежащий в основе») – то, о чем говорится в данном суждении, его предмет («S»).
2. Предикат (лат. praedicatum – «сказанный») – отражение признака предмета, то, что говорится о субъекте суждения («Р»).
3. Связка – отношение, между субъектом («S») и предикатом («Р»). Определяет наличие/отсутствие у субъекта какого-либо свойства, выраженного в предикате. Может как подразумеваться, так и обозначается знаком «тире» либо словами «является» («не является»), «имеется», «есть», «суть» и др.
4. Квантор (кванторное слово) определяет объем понятия, к которому относится субъект суждения. Стоит перед субъектом, но может также и отсутствовать в суждении. Обозначается такими словами, как «все», «многие», «некоторые», «ни один», «никто» и др.

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

ПРЯМОЕ И КОСВЕННОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Все доказательства делятся по своей структуре, по общему ходу мысли на прямые
и косвенные
. При прямых доказательствах задача состоит в том, чтобы найти убедительные аргументы, из которых логически вытекает тезис. Косвенные доказательства устанавливают справедливость тезиса тем, что вскрывают ошибочность противоположного ему допущения, антитезиса
.

Например: Все космические тела подпадают под действие законов небесной механики.

Кометы — космические тела.

следовательно, кометы подчиняются данным законам.

В построении прямого доказательства
можно выделить два связных между собою этапа: отыскание тех признанных обоснованным утверждений, которые способны быть убедительными аргументами для доказываемого положения; установление логической связи между найденными аргументами и тезисом.

В косвенном доказательстве
рассуждение идет как бы окольным путем. Вместо того, чтобы прямо отыскать аргументы для выведения из них доказываемого положения, формулируется антитезис, отрицание этого положения. Далее тем или иным способом показывается несостоятельность антитезиса. Антитезис ошибочен, значит, тезис является верным.

Поскольку косвенное доказательство использует отрицание доказываемого положения, оно является, доказательством от противного
.

Например: Если бы выступление было скучным, оно не вызвало бы стольких вопросов и острой, содержательной дискуссии. Но оно вызвало такую дискуссию. Значит, выступление было интересным.

Таким образом, косвенное доказательство проходит следующие этапы: выдвигается антитезис и из него выводятся следствия с намерением найти среди них хотя бы одно ложное; устанавливается, что антитезис неверен; из ложности антитезиса делается заключение, что тезис является истинным.

Построение формулы логической функции по таблице истинности

Строится формула следующим образом:

• В таблице истинности выделяются строки, в которых значение функции истинно.
• Для каждой такой строки таблицы записывается конъюнкция всех переменных следующим образом: если значение переменной истинно, то она записывется в прямом виде, а если ложно, то — с инверсией.
• Все, таким образом полученные, конъюнкции объединяются дизъюнкцией

В форме записи выражения логической функции, полученной таким образом,  не содержатся отрицания неэлементарных формул и присутствуют только основные логические операции (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция). Такая форма логической функции называется дизъюнктивной нормальной формой

Если все конъюнкции в выражении состоят из одного и того же набора переменных, каждый из которых входит в конъюнкцию один раз, то такая форма называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой.

Задача: Дана полная таблица истинности некоторой функции. Построить формулу функции по этой таблице.

\( x \)	\( y \)	\( z \)	\( F \)
1
1	1
1	1
1	1
1	1	1
1	1
1	1	1	1

 1. Удаляем строки со значением функции равным 0

\( x \)	\( y \)	\( z \)	\( F \)
1	1
1	1
1	1	1
1	1	1	1

2. Составляем конъюнкции для каждой строки

\( x \)	\( y \)	\( z \)	\( F \)	Конъюнкция
1	1	\( \overline{x} ⋅ y ⋅ \overline{z} \)
1	1	\( x ⋅ \overline{y} ⋅ \overline{z} \)
1	1	1	\( x ⋅ \overline{y} ⋅ z \)
1	1	1	1	\( x ⋅ y ⋅ z \)

3. Объединяем все конъюнкции дизъюнкцией:

\( F(x,y,z) = \overline{x} ⋅ y ⋅ \overline{z} + x ⋅ \overline{y} ⋅ \overline{z} + x ⋅ \overline{y} ⋅ z + x ⋅ y ⋅ z \)

Сложные суждения и виды логических связок

Как уже отмечалось, сложные суждения состоят из нескольких простых. В качестве логических связок между ними выступают такие приемы, как:

• Конъюнкция (а ʌ b – соединительные суждения). Суждения-конъюнкты имеют связку «и»: «Осуществление прав и свобод человека и гражданина не должно нарушать права и свободы других лиц».
• Дизъюнкция (a v b – разделительные суждения). В качестве составных элементов используются суждения-дизъюнкты, в качестве связки – союз «или». Например: «Истец вправе увеличить или уменьшить размер исковых требований».
• Импликация (a → b – суждение-следствие). Если в структуре сложного суждения выделяется посылка и следствие, то можно утверждать, что такое суждение относится к импликативным. В качестве связки в данном виде используются такие союзы, как «если…то». Например: «Если через проводник пропустить электрический ток, то проводник нагреется», «Хочешь быть счастливым – будь им».
• Эквиваленция (a ≡ b – тождественные суждения). Имеет место в том случае, когда значения a и b совпадают (либо оба истинны, либо оба ложны): «Человек создан для счастья, как птица для полета».
• Отрицание (¬a, ā – суждение-инверсия). Каждому исходному утверждению ставится в соответствие составное утверждение, отрицающее исходное. Осуществляется с помощью связки «не». Соответственно, если исходное утверждение выглядит так: «Бык реагирует на красный свет» (а) — то отрицание будет звучать как: «Бык НЕ реагирует на красный свет» (¬a).

Алгоритм приведения к СДНФ и СКНФ

Рассмотрим логическую функцию в виде таблицы истинности.

Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности выглядит следующим образом:

1. Отметить наборы переменных, значение функции F на которых равно 1.
2. Записать для всех отмеченных наборов конъюнкцию всех переменных так: если значение некоторой переменной в этом наборе равняется 1, в конъюнкцию включается сама переменная. В случае противного результата, в конъюнкцию включается ее отрицание.
3. Связать полученные конъюнкции операциями дизъюнкции.

Построим совершенную ДНФ:

И как результат получим следующую СДНФ:

\(F(x_1,\;x_2,\;x_3)\;=\;(\overline{x_1}\wedge\overline{x_2}\wedge\overline{x_3})\;\vee(\overline{x_1}\;\wedge\;\overline{x_2}\;\wedge\;x_3)\;\vee(x_1\;\wedge\;\overline{x_2}\;\wedge\;\overline{x_3})\;\vee\;(x_1\;\wedge\;\overline{x_2}\;\wedge\;x_3)\;\vee\;(x_1\;\wedge\;x_2\;\wedge\;x_3)\)

Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности выглядит следующим образом:

1. Отметить в таблице истинности наборы переменных, значение функции F на которых равно 0.
2. Записать для всех отмеченных наборов дизъюнкцию всех переменных — в том случае, когда значение некоторой переменной в этом наборе равняется 0, в дизъюнкцию включается сама переменная, если происходит наоборот, то в дизъюнкцию включается ее отрицание.
3. Связать полученные дизъюнкции операциями конъюнкции.

Построим совершенную КНФ:

И как результат получим следующую СКНФ:

\(F(x_1,\;x_2,\;x_3)\;=\;(x_1\;\vee\;\overline{x_2}\;\vee\;x_3)\;\wedge\;(x_1\;\vee\;\overline{x_2}\;\vee\;\overline{x_3})\;\wedge\;(\overline{x_1}\;\vee\;\overline{x_2}\;\vee\;x_3)\)

Рассмотрев алгоритмы построения СДНФ и СКНФ ясно, что в случае подавляющей части наборов значений переменных функция равна 0, то значительно легче построить и СДНФ для получения ее формулы, а в обратном случае — СКНФ.

Доказательство эквивалентности

Эквивалентность — понятие, означающее, что две и более формул представляют одну и ту же функцию. Для обозначения эквивалентности могут использоваться следующие знаки: \( \equiv , = , \Leftrightarrow .\)

Доказать эквивалентность формул можно двумя способами.

1. Первый заключается в построении и сравнении таблиц истинности обеих функций. В этом случае результат будет истинным только в том случае, когда оба высказывания либо ложны, либо истинны.
2. Второй вариант — метод эквивалентных преобразований. Суть этого метода —  построение цепи эквивалентных формул на основе ранее доказанных эквивалентностей. 

Далее следуют примеры с некоторыми эквивалентными преобразованием в булевой алгебре и новыми эквивалентностями, которые возможно получить с их помощью. 

Поглощение

\(x\;\vee\;xy\;=\;x\)

\(x(x\;\vee\;y)\;=\;x\;\)

Доказательство эквивалентности:

\(x\;\vee\;xy\;=\;x\;\cdot\;l\;\vee\;xy\;=\;x(l\;\vee\;y)\;=\;x\)

\(x(x\;\vee\;y)\;=\;xx\;\vee\;xy\;=\;x\;\vee\;xy\;=\;x\)

Склеивание

\(xy\;\vee\;x\overline y\;=\;x\)

Доказательство эквивалентности:

\(xy\;\vee\;x\overline y\;=\;x(y\;\vee\;\overline y)\;=\;x\;\cdot\;l\;=\;x\)

Обобщенное склеивание

\(xz\;\vee\;y\overline z\;\vee\;xy\;=\;xz\;\vee y\overline z\)

Доказательство эквивалентности

\(xz\;\vee\;y\overline z\;\vee\;xy\;=\;xz\;\vee y\overline z\;\vee\;xyz\;\vee\;xy\overline z\;=\;xz\;\vee\;y\overline z\)

Расщепление

\(x\;\vee\;\overline xy\;=\;x\;\vee\;y\)

Доказательство эквивалентности

\(x\;\vee\;\overline xy\;=\;xy\;\vee\;x\overline y\;\vee\;\overline xy\;=\;xy\;\vee\;x\overline y\;\vee\;xy\;\vee\;\overline xy\;=\;x\;\cdot\;l\;\;\vee\;y\;\cdot\;l\;=\;x\;\vee\;y\)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ

Определение (дефиниция) (от лат. definitio — определение) понятия — логическая операция раскрытия или значения термина. С помощью определения понятия и тем самым отличаем круг определяемых предметов от других предметов.

Понятие, содержание которого надо раскрыть, называется определяемым понятием, а то понятие, посредством которого оно определяется, называется определяющим понятием. Правильное определение устанавливает между ними равенства (эквивалентности).

Определения делятся на явные и неявные. В явных понятиях даны определяемое понятие и определяющее, объемы которых равны. К числу их относятся самый распространенный способ, определения через существенные признаки определяемого понятия.

Признак, указывающий на тот круг предметов, из числа которых нужно выделить определяемое множество предметов, называется родовым признаком, или родом. Признаки, при помощи которых выделяется определяемое множество предметов из числа предметов, соответствующих родовому понятию, называется видовым отличием (их может быть один или несколько).

II СУЖДЕНИЕ

Суждение –
форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о существовании предметов, связях между предметом и его свойствами или об отношениях между предметами (космонавты существуют, некоторые числа не являются четными). Если то, о чем говорится в суждении, соответствует действительному положению вещей, то суждение истинно. Указанные выше суждения являются истинными, так как в них адекватно (верно) отражено то, что имеет место в действительности. В противном случае суждение ложно (все растения являются съедобными).

Традиционная логика является двузначной, потому что в ней суждение имеет одно из двух значений истинно: оно либо истинно, либо ложно. В трехзначных логиках – разновидности многозначных логик – суждение может быть либо истинным, либо ложным, либо неопределенным.

В простом атрибутивном суждении имеются субъект, предикат, связка и кванторное слово.

Объект атрибутивного суждения –
это понятие о предмете суждения. Субъект суждения обозначается буквой S
(от лат. слова subjectum). Предикатом атрибутивного суждения
называется понятие о признаке предмета, о котором говорится в суждении. Предикат обозначается буквой Р
(от лат. praedicatum). Связка может быть выражена одним словом (есть, суть, является), или группой слов, или тире, или простым согласованием слов. Перед субъектом суждения иногда стоит кванторное слово: все, или ни один, или некоторые и др. Кванторное слово указывает, относится ли суждение ко всему объему понятия, выражающего субъект, или к его частям. Простые суждения, о которых шла речь, называются ассекторическими.

Логические выражения и таблица истинности

Примеры задач с решениями по этой теме Пройти тестирование по теме Контрольная по теме

 Таблица истинности — таблица, показывающая,  какие значения принимает составное высказывание при  всех сочетаниях (наборах)  значений  входящих в него простых высказываний.

Логическое выражение — составные высказывания в виде формулы.

Равносильные логические выражения – логические выражения, у которых последние столбцы таблиц истинности совпадают. Для обозначения равносильности используется знак «=».

Алгоритм построения  таблицы  истинности:

1.подсчитать количество переменных n в логическом выражении;

2. определить число строк в таблице по формуле m=2n, где n — количество переменных;

3. подсчитать количество логических операций в формуле;

4. установить последовательность выполнения логических операций с учетом скобок и приоритетов;

5. определить количество столбцов: число переменных + число операций;

6. выписать наборы входных переменных;

7. провести заполнение таблицы истинности по столбцам, выполняя логические операции в соответствии с установленной в пункте 4 последовательностью.

Заполнение таблицы:

1.разделить колонку значений первой переменной пополам и заполнить верхнюю часть «0», а нижнюю «1»;

2.разделить колонку  значений  второй переменной на четыре части и заполнить каждую четверть чередующимися группами «0» и «1», начиная с группы «0»;

3.продолжать деление колонок значений последующих переменных на 8, 16 и т.д. частей и заполнение их группами «0» или «1» до тех пор, пока группы «0» и «1» не будут состоять из одного символа.

Пример 1. Для формулы  A/\ (B \/ ¬B /\¬C) постройте  таблицу истинности.

 Количество логических переменных 3, следовательно, количество строк — 23 = 8.

Количество логических операций в формуле 5, количество логических переменных 3, следовательно количество столбцов — 3 + 5 = 8.

 

Пример 2. Определите истинность  логического выражения  F(А, В) = (А\/ В)/\(¬А\/¬В) .

1. В выражении две переменные А и В (n=2).

2.  m_строк=2n, m=22=4 строки.

3. В формуле 5 логических операций.

4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В;  2) ¬А;  3) ¬В;  4) ¬А\/¬В;  5) (А\/ В)/\(¬А\/¬В).

5. К_{столбцов}=n+5=2+5=7 столбцов.

А	В	А\/ В	¬А	¬В	¬А\/¬В	F
1	1	1
1	1	1	1	1
1	1	1	1	1
1	1	1

 Вывод: логическое выражение принимает значение истина при наборах F(0,1)=1 и F(1,0)=1.

Пример 3. Построёте таблицу истинности для логического выражения

F = (A\/ B) /\ ¬С

1. В данной функции три логические переменные – А, В, С
2. количество строк таблицы = 23 =8
3. В формуле 3 логические операции.
4. Расставляем порядок действий

1) А\/ В;  2) ¬С; 3) (AVB) /\ ¬С  .

1. количество столбцов таблицы = 3 + 3 = 6

А	В	С	A\/B	¬С	(A\/B) /\ ¬С
1
1
1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1
1	1	1
1	1	1	1	1
1	1	1	1

Пример 4.  Определите истинность формулы: F = ((С \/В) =>  В) /\ (А /\ В) => В.

Построим таблицу истинности этой формулы.

 

Ответ: формула является тождественно истинной.

Пример 5. Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z.

Дан фрагмент таблицы истинности выражения F:

X	Y	Z	F
1
1
1	1

Какое выражение соответствует F?

 1) ¬X/\¬Y/\Z                      2) ¬X\/¬Y\/Z                  3) X\/Y\/¬Z              4) X\/Y\/Z

 Решение (вариант 1, через таблицы истинности):

Чтобы решить данную задачу можно построить часть таблицы истинности для каждой из четырех функций, заданных в ответе для заданных наборов входных переменных, и сравнить полученные таблицы с исходной:

X	Y	Z	F	¬X	¬Y	¬Z	¬X/\¬Y/\Z	¬X\/¬Y\/Z	X\/Y\/¬Z	X\/Y\/Z
1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

 Очевидно, что значения заданной функции F совпадают со значениями выражения X\/Y\/¬Z. Следовательно, правильный ответ – 3.

Ответ: 3

 Решение (Вариант 2):

Чтобы не строить таблицу истинности для каждого выражения, можно просто перепроверить предложенные ответы по заданной таблице истинности. Т.е. в каждую из четырех предложенных функций последовательно подставлять значения переменных X, Y  и Z, из заданной таблицы истинности и вычислять значения логического выражения. Если значения вычисляемого выражения совпадут со значением F во всех трех строчках заданной таблицы, то это и есть искомое выражение.

 Рассмотрим данный конкретный пример:

1)первое заданное выражение  ¬X/\¬Y/\Z = 0 при X=0, Y=0, Z=0, что не соответствует первой строке таблицы;

2)второе заданное выражение ¬X\/¬Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует  второй строке таблицы;

3)третье выражение   X\/Y\/¬Z    соответствует F при всех предложенных комбинациях X,Y и Z;

4)четвертое выражение X\/Y\/Z = 1 при X=0, Y=0, Z=1, что не соответствует второй строке таблицы.

Ответ: 3

Классификация простых суждений

Простые суждения в логике могут быть следующих видов: атрибутивные, суждения с отношениями, экзистенциальные, модальные.

Атрибутивные (суждения-свойства) направлены на утверждение/отрицание наличия у предмета определенных свойств (атрибутов), видов деятельности. Данные суждения имеют категорическую форму и не подвергаются сомнению: «Нервная система млекопитающих состоит из головного мозга, спинного мозга и отходящих нервных путей».

В суждениях с отношениями рассматриваются определенные отношения между предметами. Они могут иметь пространственно-временной контекст, причинно-следственный и др. Например: «Старый друг лучше новых двух», «Водород легче углекислого газа в 22 раза».

Экзистенциальное суждение – это утверждение существования/несуществования предмета (как материального, так и идеального): «Нет пророка в своем отечестве», «Луна является спутником Земли».

Модальное суждение – это форма утверждения, в составе которого присутствует определенный модальный оператор (необходимо, хорошо/плохо; доказано, известно/неизвестно, запрещено, верю, и др.). Например:

• «В России необходимо проведение образовательной реформы» (алетическая модальность – возможность, необходимость чего-либо).
• «Каждый имеет право на личную неприкосновенность» (деонтическая модальность – нравственные нормы общественного поведения).
• «Небрежное отношение к государственному имуществу приводит к его утрате» (аксиологическая модальность – отношение к материальным и духовным ценностям).
• «Мы верим в вашу невиновность» (эпистемическая модальность – степень достоверности знаний).

Алгебра высказываний

Высказывание – повествовательное предложение, о котором можно сказать истинно оно или ложно. В алгебре простым высказываниям ставятся в соответствии логические переменные (А, В, С и т.д.)

Логическая переменная – это простое высказывание. Логические переменные обозначаются прописными и строчными латинскими буквами (a-z, A-Z) и могут принимать всего два значения – 1, если высказывание истинно, или 0, если высказывание ложно.

 Пример высказываний:

Логическая функция – это сложное высказывание, которое получается в результате проведения логических операций над простыми высказываниями.

Для образования сложных высказываний наиболее часто используются базовые логические операции, выражаемые с помощью логических связок «и», «или», «не».Например,

Многие люди  не любят сырую погоду.

Пусть А = «Многие люди любят сырую погоду». Получаем логическую функцию F(A) = не А.

Связки «НЕ», «И», «ИЛИ» заменяются логическими операциями инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Это основные логические операции, при помощи которых можно записать любое логическое выражение.

Логическая формула (логическое выражение) — формула, содержащая лишь логические величины и знаки логических операций. Результатом вычисления логической формулы является ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0).

Значение логической функции зависит от значений входящих в нее логических переменных. Поэтому значение логической функции можно определить с помощью специальной таблицы (таблицы истинности), в которой перечислены все возможные значения входящих логических переменных и соответствующие им значения функции.

                                                                      Основные (базовые) логические операции:

1. Логическое умножение (конъюнкция), от лат. konjunctio – связываю:•    Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза И;•     в языках программирования — And. •    Принятые обозначения: /\ , •, и, and.•    В алгебре множеств конъюнкции соответствует операция пересечения множеств.  

Конъюнкция истинна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания истинны.

Пример: Рассмотрим составное высказывание  «2 • 2 = 4 и 3 • 3 = 10». Выделим простые высказывания:А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)В = «3 • 3 = 10» = 0 (т.к. это ложное высказывание)Поэтому, логическая функция F(A, B) = A /\ B = 1 /\ 0 = 0 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание ложное.

2. Логическое сложение (дизъюнкция), от лат. disjunctio – различаю:•    Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза ИЛИ;•     в языках программирования — Or. •    Обозначение:  \/, +, или, or.•    В алгебре множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.  

Дизъюнкция ложна тогда и только тогда, все, входящие в нее высказывания ложны.

Пример: Рассмотрим составное высказывание  «2 • 2 = 4 или 2 • 2 = 5». Выделим простые выска-зывания:А = «2 • 2 = 4» = 1 (т.к. это истинное высказывание)В = «2 • 2 = 5» = 0 (т.к. это ложное высказывание)Поэтому, логическая функция F(A, B) = A \/ B = 1 \/ 0 = 1 (в соответствии с таблицей истинности), то есть данное составное высказывание истинно.

3. Отрицание (инверсия), от лат. InVersion – переворачиваю:

•    Соответствует частице НЕ, словосочетаниям НЕВЕРНО, ЧТО или НЕ ЯВЛЯЕТСЯ ИСТИНОЙ, ЧТО;•    в языках программирования — Not; •    Обозначение: не А, ¬А, not•    В алгебре множеств логическому отрицанию соответствует операция дополнения до универсального множества.

 
 
 
 
 
 
Инверсия логической переменной истинна, если сама переменная ложна, и, наоборот, инверсия ложна, если переменная истинна.

 Пример:

А = {два умножить на два равно четырем} = 1.

 ¬A= {Неверно, что два умножить на два равно четырем}= 0.

Рассмотрим высказывание А : «Луна — спутник Земли«;  тогда   ¬А будет формулироваться так:  «Луна — не спутник Земли«.

Рассмотрим высказывание: «Неверно, что 4 делится на 3». Обозначим через А простое высказывание «4 делится на 3». Тогда логическая форма отрицания этого высказывания имеет вид ¬А

Приоритет логических операций:

Операции в логическом выражении выполняются слева направо с учетом скобок в следующем порядке:     1. инверсия;     2. конъюнкция;     3. дизъюнкция;Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются круглые скобки.

Составные логические выражения алгебры высказываний называют формулами.Истинно или ложно значение формулы можно определить законами алгебры логики, не обращаясь к смыслу: F = (0 \/ 1) /\ (¬0 \/ ¬1) = (0 \/ 1) /\ (1 \/ 0) =1 /\ 1=1 — истинаF = (¬0 /\ ¬1) \/ (¬1 \/ ¬1) = (1 /\ 0) \/ (0 \/ 0) = 0 \/ 0 = 0 — ложь