Великая теорема ферма

[править] Анамнез

С мыслью о методе Колывагина-Флаха Эндрю Уайлс взирает на окружающий мир

Коллеги Ферма начали срать кирпичами: задачка по виду простенькая, как два пальца об асфальт, но не получается. Блеать, нихуя не получается, то есть вообще. От самого Ферма осталось доказательство для случая n = 4, а в легендарном доказательстве, надо полагать, была ошибка, или оно, аки «Мертвые души», второй том, было спалено в приступе белой горячки. Эйлер, к которому задача попала через Мерсенна, доказал для n = 3 и грустил, пытаясь разродиться доказательством в общем случае. Ни-че-го, пусто-пусто. Впоследствии многие пробовали доказать эту теорему, но все фейлили. Вообще, любой математик заведомо потратил хотя бы денек-другой, пытаясь изобрести доказательство. Так что, если твой знакомый мастер матана будет утверждать, что он никогда не пробовал, знай: он врет. Инфа 100%.

Показательно, что в свое время Гильберт, когда его спросили, не пробовал ли и он доказать ВТФ, разразился долгой речью, что, мол, бла-бла-бла, зачем это надо, лучше ее и не доказывать, бла-бла-бла, очень уж много клевых методов придумали, пытаясь доказать, да и вообще, он, Гильберт, не специалист. Ну да, конечно. Когда старый хитрец отдал Б-гу душу, у него в черновиках нашли не одну сотню страниц с попытками доказать ВТФ.

Хотя в чем-то Гильберт был прав: всякого вкусного и интересного при попытках доказательства изобрели немало, для специалистов один метод бесконечного спуска чего стоит. А ведь это еще не все, желающим — гугл в помощь.

Наконец, в середине XX века, двумя японцами Симурой и Таниямой была сформулирована некая гипотеза, суть которой доступна чуть более, чем никому. А потом неким Риббетом было доказано, что из нее следует ВТФ. Забрезжил свет в конце тоннеля, и в 90-е, Уайлс, аналог нашего Перельмана из Великобритании, доказал эту гипотезу и, соответственно, сабж. Тут тоже не обошлось без драмы: в первом доказательстве была найдена ошибка, которую Уайлс, подвергаемый травле бокланов со всего света, все-таки исправил. Исправлял год и с большим трудом, но сдюжил. Его работу снова проверили, и на этот раз ошибок не нашли. Epic win.

Доказательство как следствие критерия Эйлера

[править] А лулзы?

О, этого добра навалом. Подобно мобилистам, изобретающим вечный двигатель, по сей день существуют фермисты, которые ищут простое доказательство ВТФ. Зайдя на любой форум фриков, можно насладиться их бредом. Сколько их, нашедших то самое, элементарное доказательство. Многие из них разъехались по палатам с Наполеоном, иные продолжают бомбардировать все инстанции: институт Клея, академию наук, МГУ и все остальное со своими доказательствами. Эдмунд Ландау, немецкий математик и лентяй, напечатал специальные бланки со следующим текстом: «уважаемый %username%, первая ошибка в вашем доказательстве Великой теоремы Ферма находится на %d странице в %d строке». ИЧСХ, обленился настолько, что поиск ошибок поручал своим студентам в качестве домашнего задания.

В 1972 году журнал «Квант» опубликовал статью о ВТФ, снабдив замечанием: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Не надо думать, что после доказательства ВТФ ферматисты успокоились, нет. Доказательство же негодное, сложное. Они ищут элементарное, доступное школьнику, доказательство, но поскольку все они сами с трудом знают школьную программу, получается рафинированный бред. Ознакомиться с этой чушью можно где угодно, например, на форуме dxdy, и там же можно познакомиться с гигатоннами кирпичей, высираемых тамошними завсегдатаями от этих текстов. Но фрики неуёмны.

Из забавных историй можно вспомнить байку, описанную в книжке Сингха, про некоего немца, которому ВТФ спасла жизнь. Пациента бросила телка, он обанкротился, жизнь была лютое говно, и херр решил застрелиться, причем ровно в полночь. Приведя свои дела в порядок, насколько это было возможно, увидел, что времени только 9 вечера, и решил подождать. Немец же: Ordnung muss sein. Ну и присел подоказывать ВТФ. Увлекся этим делом, а когда вспомнил, что решил стреляться, было уже крепко за полночь. Поняв, что это знак, решил отложить суицид до лучших худших времен… А потом дела пошли на поправку, и закончил он свой жизненный путь преуспевающим бизнесменом и весьма богатым человеком. На радость наследничкам херр завещал тому, кто докажет ВТФ, изрядную по тем временам сумму. Что стало с премией неизвестно, надо полагать за время XX века она обесценилась, пруфов, в общем, не будет.

Почему же в деле доказательства ВТФ такой лютый пиздец и откуда столько фриков? Ну как же, такая простая формулировка, впрочем в теории чисел таких много. А при доказательстве легко ухватиться за простую идею и начать сводить задачу к другим. Ничего, правда, не получится, это дело бесконечное. Видимо потому, что сам этот факт случайно частный случай более общего эффекта. Той самой теоремы Таниямы-Симуры. Такое в математике частенько бывает. А еще это так, потому что это так.

Некоторые вариации и обобщения

Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, что уравнение a4+b4+c4=d4{\displaystyle a^{4}+b^{4}+c^{4}=d^{4}} не имеет натуральных решений a,b,c,d.{\displaystyle a,b,c,d.} Только в наши дни, с помощью мощных компьютеров, удалось найти контрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году обнаружил следующее решение:

26824404+153656394+187967604=206156734.{\displaystyle 2682440^{4}+15365639^{4}+18796760^{4}=20615673^{4}.}

Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:

958004+2175194+4145604=4224814.{\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}.}

Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била, сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 млн долларов США.

Литература

Мамея (Маммея)

Схож с абрикосом по виду и вкусу мякоти. Размером крупнее – до 20 сантиметров в диаметре. Кожура светло-коричневого цвета. Ягода имеет одну-четыре косточки. Оттенок вкуса уходит в манговый. Место предложения: Эквадор, Мексика, Колумбия, Венесуэла.

Псевдопричины

Если и р являются взаимно простыми числами , такой , что р -1 — 1 делится на р , то р не должны быть простым. Если это не так, p называется псевдопервичным (Ферма) основанием a . Первое псевдопростое число по основанию 2 было найдено в 1820 году Пьером Фредериком Саррусом : 341 = 11 × 31.

Число р , что является Ферма псевдопростым числом к базовому а для каждого числа взаимно простые с р называется число Кармикаэл (например , 561). Как вариант, любое число p, удовлетворяющее равенству

gcd(п,∑азнак равно1п-1ап-1)знак равно1{\ displaystyle \ gcd \ left (p, \ sum _ {a = 1} ^ {p-1} a ^ {p-1} \ right) = 1}

является простым числом или числом Кармайкла.

Распространение крохаля длинноносого.

Длинноносые крохали распространяются в северных районах североамериканского материка, и далее продвигаются на юг до Великих озер. Встречаются на юге Северной Евразии, в Гренландии, Исландия, Великобритании, в странах Восточной Европы. Обитают в северных и восточных районах Китая и Северной Японии. Ареал зимовок еще более расширенный и включает побережье Атлантического и Тихого океана вдоль Северной Америки, территорию Центральной Европы и Средиземноморье. Побережье Черного моря, южную часть Каспийского моря, побережье на юге Пакистана и Ирана, а также прибрежные районы берегов Кореи. Длинноносые крохали летят зимовать на юг Балтийского моря и на побережье Европы, образуя огромные скопления.

Как Ферма заварил кашу

Приложения[править | править код]

Псевдопростые числа Ферма и тестирование на простотуправить | править код

Основная статья: Псевдопростые числа Ферма

Основная статья: Тест простоты

Малая теорема Ферма может быть использована для тестирования числа на простоту: если (ap−a){\displaystyle (a^{p}-a)} не делится на p{\displaystyle p}, то p — составное число. Однако обращение малой теоремы Ферма в общем случае неверно: если a{\displaystyle a} и p{\displaystyle p} — взаимно простые числа и ap−1−1{\displaystyle a^{p-1}-1} делится на p, то число p{\displaystyle p} может быть как простым, так и составным. В случае, когда p{\displaystyle p} является составным, оно называется псевдопростым Ферма по основанию a.

К примеру, китайская гипотеза утверждает, что p{\displaystyle p} является простым числом тогда и только тогда, когда 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}. Здесь прямое утверждение о том, что если p{\displaystyle p} простое, то 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}, является частным случаем малой теоремы Ферма. Обратное же утверждение о том, что если 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}, то p{\displaystyle p} простое, есть частный случай обращения малой теоремы Ферма. Это обращение ложно: Саррус в 1820 году нашёл, что число N=2341−1−1{\displaystyle N=2^{341-1}-1} делится на 341{\displaystyle 341}, так как N{\displaystyle N} делится на 210−1=3⋅341{\displaystyle 2^{10}-1=3\cdot 341}. Однако 341{\displaystyle 341} — составное число: 341=11⋅31{\displaystyle 341=11\cdot 31}. Таким образом, 341 — псевдопростое число по основанию 2.

В общем случае обращение малой теоремы Ферма также не выполняется. Контрпримером в общем случае являются числа Кармайкла: это числа p, являющиеся псевдопростыми по основанию a для всех a, взаимно простых с p. Наименьшим из чисел Кармайкла является 561.

Ввиду того, что обращение малой теоремы Ферма неверно, выполнение её условия не гарантирует что p — простое число. Тем не менее малая теорема Ферма лежит в основе теста Ферма на простоту. Тест Ферма является вероятностным тестом на простоту: если теорема не выполняется, то число точно составное, а если выполняется — то число простое с некоторой вероятностью. Среди других вероятностных методов можно отметить: тест Соловея — Штрассена и тест Миллера — Рабина, последний в некоторой степени опирается на малую теорему Ферма. Также существует и детерминированный алгоритм: Тест Агравала — Каяла — Саксены.

Кроме того, справедливы следующие два утверждения. Если пара (2, n) удовлетворяют сравнению an−1≡1(modn){\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}, то и пара чисел (2,2n−1){\displaystyle (2,2^{n}-1)} также ему удовлетворяют. Для любого простого числа n и любого a > 2 такого, что (a2−1,n)=1{\displaystyle (a^{2}-1,n)=1}, значение a2n−1a2−1{\displaystyle {\frac {a^{2n}-1}{a^{2}-1}}} является псевдопростым числом Ферма по основанию a.

Похожее

Апология математики
Успенский В. А.

В этой книге говориться о математике как о части культуры духовной. Данный текст писался не для математиков, а скорее для гуманитариев. Поэтому при его составлении в ряде случаев приходилось выбирать между понятностью и точностью. Предпочтение отдавалось понятности. Очерчивая место математики в современной культуре, автор пытается прояснить для читателей-нематематиков некоторые основные понятия и проблемы «царицы наук».

Почему нельзя делить на ноль?
«Делить на ноль нельзя!» — большинство школьников заучивает это правило наизусть, не задаваясь вопросами

Все дети знают, что такое «нельзя» и что будет, если в ответ на него спросить: «Почему?» А ведь на самом деле очень интересно и важно знать, почему же нельзя.

Алгебраическая структура пространства-времени, алгебродинамика полей и частиц
Вашему вниманию предлагается исследовательская программа, последовательно возрождающая неопифагорейскую философию в теоретической физике и основанная на убеждении в неслучайности физических законов, в существовании единого первичного принципа, определяющего структуру (видимого и невидимого) Мира и записанного на абстрактном математическом языке, на языке Чисел (целых, действительных и, возможно, их обобщений).

Сложность конечных последовательностей нулей и единиц и геометрия конечных функциональных пространств
Арнольд В. И.
Популярная лекция, в том виде, в каком Владимир Игоревич Арнольд прочитал ее 13 мая 2006 года в концертном зале «Академический» по приглашению фонда «Династия»

Эту лекцию, как уверяет сам академик Арнольд, может понять даже школьник.

Цепные дроби
Николай Мощевитин
Как определял цепные дроби Адольф Гурвиц? В чем смысл гипотезы Зарембы? И какие математические задачи связаны с цепными дробями? Об этом рассказывает доктор физико-математических наук Николай Мощевитин.

Периодические цикады и простые числа

Есть гипотеза, что продолжительность циклов большинства цикад не случайна, а представляет собой интервалы из простых чисел (чисел, делимых без остатка только на себя — 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т. д.), являясь наиболее действенной стратегией выживания и размножения.

Число, время, свет
Владимир Кассандров
Программа Гордона
Существует ли единый «Код Природы»? Может ли число порождать свет, а свет — материю? В чем суть основных принципов «неопифагорейского» подхода к построению физических теорий? О «реке времени» и частицах как точках «сгущения» первичных световых потоков — физик Владимир Кассандров.

Математика бесконечности
Лебедев Ю. А.

Энциклопедии элементарной математики
Александров П. С., Маркушевич А. И., Хинчин А. Я.
Сборник книг предназначается для людей, изучавших элементарную математику и уже ставших или готовящихся стать преподавателями элементарной математики. Логика нашего издания — это логика систематического, по возможности простого и доступного изложения тех вопросов математической науки, из которых строится школьный курс, а также и тех, которые хотя и не находят в этом курсе прямого выражения, однако необходимы для правильного и сознательного его понимания и создают перспективы для дальнейшего развития содержания и методов школьного курса.

Куда движется математика?
Брайан Дэвис
На протяжении большей части XX столетия в «чистой» математике царило замечательное единодушие относительно того, как нужно представлять результаты. Весь предмет сводился к комплексу теорем, каждая из которых, в конечном счете, выводилась из фиксированного набора аксиом путем так называемого строгого логического доказательства. В отдельных разделах математики, таких, например, как арифметика Пеано, справедливость аксиоматики выглядела самоочевидной, однако во многих случаях аксиомы попросту очерчивали рассматриваемую область вопросов. Для математиков, если только они не выходили за рамки математики, выступая в роли философов-любителей, принципиального различия между изобретением и открытием новых концепций не было.

Далее >>>

Приложения

Псевдопростые числа Ферма и тестирование на простоту

Основная статья: Псевдопростые числа Ферма

Основная статья: Тест простоты

Малая теорема Ферма может быть использована для тестирования числа на простоту: если (ap−a){\displaystyle (a^{p}-a)} не делится на p{\displaystyle p}, то p — составное число. Однако обращение малой теоремы Ферма в общем случае неверно: если a{\displaystyle a} и p{\displaystyle p} — взаимно простые числа и ap−1−1{\displaystyle a^{p-1}-1} делится на p, то число p{\displaystyle p} может быть как простым, так и составным. В случае, когда p{\displaystyle p} является составным, оно называется псевдопростым Ферма по основанию a.

К примеру, китайская гипотеза утверждает, что p{\displaystyle p} является простым числом тогда и только тогда, когда 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}. Здесь прямое утверждение о том, что если p{\displaystyle p} простое, то 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}, является частным случаем малой теоремы Ферма. Обратное же утверждение о том, что если 2p≡2(modp){\displaystyle 2^{p}\equiv 2{\pmod {p}}}, то p{\displaystyle p} простое, есть частный случай обращения малой теоремы Ферма. Это обращение ложно: Саррус в 1820 году нашёл, что число N=2341−1−1{\displaystyle N=2^{341-1}-1} делится на 341{\displaystyle 341}, так как N{\displaystyle N} делится на 210−1=3⋅341{\displaystyle 2^{10}-1=3\cdot 341}. Однако 341{\displaystyle 341} — составное число: 341=11⋅31{\displaystyle 341=11\cdot 31}. Таким образом, 341 — псевдопростое число по основанию 2.

В общем случае обращение малой теоремы Ферма также не выполняется. Контрпримером в общем случае являются числа Кармайкла: это числа p, являющиеся псевдопростыми по основанию a для всех a, взаимно простых с p. Наименьшим из чисел Кармайкла является 561.

Ввиду того, что обращение малой теоремы Ферма неверно, выполнение её условия не гарантирует что p — простое число. Тем не менее, малая теорема Ферма лежит в основе теста Ферма на простоту. Тест Ферма является вероятностным тестом на простоту: если теорема не выполняется, то число точно составное, а если выполняется — то число простое с некоторой вероятностью. Среди других вероятностных методов можно отметить: тест Соловея — Штрассена и тест Миллера — Рабина, последний в некоторой степени опирается на малую теорему Ферма. Также существует и детерминированный алгоритм: Тест Агравала — Каяла — Саксены.

Кроме того, справедливы следующие два утверждения. Если пара (2, n) удовлетворяют сравнению an−1≡1(modn){\displaystyle a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}}, то и пара чисел (2,2n−1){\displaystyle (2,2^{n}-1)} также ему удовлетворяют. Для любого простого числа n и любого a > 2 такого, что (a2−1,n)=1{\displaystyle (a^{2}-1,n)=1}, значение a2n−1a2−1{\displaystyle {\frac {a^{2n}-1}{a^{2}-1}}} является псевдопростым числом Ферма по основанию a.

«Ферматисты»

Авторское свидетельство, выданное Министерством образования и науки Украины Г. А. Середкину и Л. В. Шаповаловой на работу с «доказательством» теоремы Ферма

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской: «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации. Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях, как правило, с последующими опровержениями. Среди других примеров:

• Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, ).
• Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году.
• Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств.

Обобщения

Теорема Эйлера является обобщением малой теоремы Ферма: для любого модуля и любого целого числа в копервичных к п , один имеет
п{\ displaystyle n}

аφ(п)≡1(модп),{\ Displaystyle а ^ {\ varphi (п)} \ эквив 1 {\ pmod {п}},}

где обозначает функцию Эйлера (которая считает целые числа от 1 до n , взаимно простые с n ). Маленькая теорема Ферма — действительно частный случай, потому что если — простое число, то .
φ(п){\ Displaystyle \ varphi (п)}п{\ displaystyle n}φ(п)знак равноп-1{\ Displaystyle \ varphi (п) = п-1}

Следствие теоремы Эйлера является: для любого натурального числа п , если число является взаимно просто с п , то

Икс≡y(модφ(п))подразумеваетаИкс≡аy(модп),{\ Displaystyle х \ экви у {\ pmod {\ varphi (n)}} \ quad {\ text {implies}} \ quad a ^ {x} \ Equiv a ^ {y} {\ pmod {n}},}

для любых целых чисел x и y . Это следует из теоремы Эйлера, так как если , то для некоторого целого k и
Икс≡y(модφ(п)){\ Displaystyle х \ эквив у {\ pmod {\ varphi (п)}}}Иксзнак равноy+kφ(п){\ Displaystyle х = у + к \ varphi (п)}

аИксзнак равноаy+φ(п)kзнак равноаy(аφ(п))k≡аy1k≡аy(модп).{\ displaystyle a ^ {x} = a ^ {y + \ varphi (n) k} = a ^ {y} (a ^ {\ varphi (n)}) ^ {k} \ Equiv a ^ {y} 1 ^ {k} \ Equiv a ^ {y} {\ pmod {n}}.}

Если n простое, это также следствие малой теоремы Ферма. Это широко используется в модульной арифметике , потому что это позволяет уменьшить модульное возведение в степень с большими показателями до показателей меньше n .

Если n не является простым, это используется в криптографии с открытым ключом , обычно в криптосистеме RSA следующим образом: если

yзнак равноИксе(модп),{\ Displaystyle у = х ^ {е} {\ pmod {п}},}

извлечение х из значений е и п легко , если известно В самом деле, расширенный алгоритм Евклида позволяет вычислениям модульные обратным из е по модулю , который представляет собой целое число й такие Отсюда следует , что
φ(п).{\ Displaystyle \ varphi (п).}φ(п),{\ Displaystyle \ varphi (п),}еж≡1(модφ(п)).{\ Displaystyle ef \ Equiv 1 {\ pmod {\ varphi (n)}}.}

Икс≡Иксеж≡(Иксе)ж≡yж(модп).{\ Displaystyle х \ эквив х ^ {еф} \ эквив (х ^ {е}) ^ {е} \ эквив у ^ {е} {\ pmod {n}}.}

С другой стороны, если n = pq является произведением двух различных простых чисел, то в этом случае для нахождения f из n и e необходимо знать (это не доказано, но ни один алгоритм не известен для вычисления f без знания ). Если известно n, а коэффициенты p и q легко вывести, так как известно их произведение n и их сумму . Основная идея криптосистемы RSA такова: если сообщение x зашифровано с использованием общедоступных значений n и e , то, при текущих знаниях его невозможно расшифровать, не найдя (секретных) факторов p и q числа n .
φ(п)знак равно(п-1)(q-1).{\ displaystyle \ varphi (n) = (p-1) (q-1).}φ(п){\ Displaystyle \ varphi (п)}φ(п){\ Displaystyle \ varphi (п)}φ(п),{\ Displaystyle \ varphi (п),}п-φ(п)+1.{\ displaystyle n- \ varphi (n) +1.}yзнак равноИксе(модп),{\ Displaystyle у = х ^ {е} {\ pmod {п}},}

Малая теорема Ферма также связана с функцией Carmichael и теоремой Кармайкла , а также к теореме Лагранжа в теории групп .

Альтернативная формулировка[править | править код]

Следующая формулировка отличается отсутствием требования, чтобы число a{\displaystyle a} не делилось на p{\displaystyle p}:

К примеру, если a=7;p=5{\displaystyle a=7;p=5}, то 75=16807=5⋅3361+2,{\displaystyle 7^{5}=16807=5\cdot 3361+2,} и 7=5⋅1+2.{\displaystyle 7=5\cdot 1+2.}.

Легко показать что эта формулировка сводится к изначальной. Так, если a{\displaystyle a} делится на p{\displaystyle p}, то a≡(modp){\displaystyle a\equiv 0{\pmod {p}}} и ap≡(modp){\displaystyle a^{p}\equiv 0{\pmod {p}}}, т.е. ap≡a(modp){\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}}. Если же a{\displaystyle a} не делится на p{\displaystyle p}, то выражение ap≡a(modp){\displaystyle a^{p}\equiv a{\pmod {p}}} эквивалентно выражению ap−1≡1(modp){\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}.

Как основная, так и альтернативная формулировки могут быть использованы для проверки, является ли заданное число простым (см. ), однако основная формулировка надёжнее в том смысле, что отбраковывает больше составных чисел. Пример: проверим, является ли 6{\displaystyle 6} простым числом. Пусть a=4.{\displaystyle a=4.} В альтернативной формулировке получается 46=4096=682×6+4{\displaystyle 4^{6}=4096=682\times 6+4}, а это сравнимо с 4 mod 6. То есть число 6 не отбраковано, его простота не опровергнута. Если же вернуться к оригинальной теореме: ap−1≡1(modp){\displaystyle a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p}}}, то 46−1=45=1024=170×6+4{\displaystyle 4^{6-1}=4^{5}=1024=170\times 6+4}, а это не сравнимо с 1 mod 6, как должно быть в случае, если p — простое число. Таким образом, основная формулировка более эффективна при отбраковке составных чисел.

Великая теорема Ферма: доказательство Уайлса

Узнав, что Рибет доказал правильность теории Фрея, английский математик Эндрю Уайлс, с детства интересующийся последней теоремой Ферма и имеющий опыт работы с эллиптическими кривыми и смежными областями, решил попытаться доказать гипотезу Таниямы-Шимуры, как способ доказать последнюю теорему Ферма. В 1993 году, спустя шесть лет после объявления о своей цели, тайно работая над проблемой решения теоремы, Уайльсу удалось доказать смежную гипотезу, что, в свою очередь, помогло бы ему доказать последнюю теорему Ферма. Документ Уайлса был огромным по размеру и масштабу.

Недостаток был обнаружен в одной части его оригинальной статьи во время рецензирования и потребовал еще один год сотрудничества с Ричардом Тейлором, чтобы совместно решить теорему. В результате окончательное доказательство Уайлсом великой теоремы Ферма не заставило долго себя ждать. В 1995 году оно было опубликовано в куда меньшем масштабе, чем предыдущая математическая работа Уайлса, наглядно показывая, он не ошибся в своих предыдущих выводах о возможности доказательства теоремы. Достижение Уайлса было широко растиражировано в популярной прессе и популяризировано в книгах и телевизионных программах. Остальные части гипотезы Танияма-Шимура-Вейля, которые теперь были доказаны и известны как теорема о модульности, впоследствии были доказаны другими математиками, которые основывались на работе Уайлса в период между 1996 и 2001 годами. За свое достижение Уайлс был удостоен чести и получил многочисленные награды, в том числе, премию Абеля 2016 года.

Доказательство Уайлсом последней теоремы Ферма является частным случаем решения теоремы модульности для эллиптических кривых. Тем не менее, это самый известный случай столь масштабной математической операции. Вместе с решением теоремы Рибе, британский математик также получил доказательство последней теоремы Ферма. Последняя теорема Ферма и теорема о модульности почти повсеместно считались недоказуемыми современными математиками, но Эндрю Уайлс смог доказать всему научному миру, что даже ученые мужи способны заблуждаться.

Уайлс впервые объявил о своем открытии в среду 23 июня 1993 года на лекции в Кембридже под названием «Модульные формы, эллиптические кривые и представления Галуа». Однако в сентябре 1993 года было установлено, что его расчеты содержат ошибку. Год спустя, 19 сентября 1994 года, в том, что он назвал бы «самым важным моментом его трудовой жизни», Уайлс наткнулся на откровение, которое позволило ему исправить решение задачи до того уровня, когда оно сможет удовлетворить математическое сообщество.

Литература

на русском языке

• Глэд Д. Будущая эволюция человека — Евгеника XXI века. М.: «Издательство Захарова», 2005. — 176 с.
• Петрушевский Ф. Ф. Наследственность // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Хан Ю. В. Евгенический проект: «pro» и «contra». М., 2003. — 153 с.

на других языках

• Popenoe and Johnson, Applied Eugenics (New York, 1920).
• Holmes S. J. (англ.)русск. The Trend of the Race (New York, 1921).