Как научиться рисовать куб

Вертикальные линии и невидимые грани

Обратите внимание на снимок куба в самом начале статьи. На нем отчетливо видно, что линии, которые расположены вертикально, немного наклонены

Это, прежде всего, связано с тем, что объектив фотокамеры, с которой производился снимок, увидел перспективное сокращение линий.

И это правда, когда мы видим куб сбоку и сверху, кажется что вертикальные линии чуть-чуть сходятся в одну точку которая располагается снизу. Академический рисунок игнорирует передачу сокращения вертикальных линий, за исключением случаев сильного ракурса, а при начальном уровне обучения, куб рисуется с параллельными вертикальными линиями, строго перпендикулярными линии горизонта.

Как только нарисованы верхние линии, проверяем, насколько сократились боковые грани с обеих сторон. Ширину данных граней меряем только по горизонтали, ни в коем случае не под наклоном, и переходим к сравниванию, какая из них меньше высоты самого ближнего бедра куба, и обязательно без между собой. Как только закончите с проверкой ближних линий и вертикальных ребер можете приступать к зарисовке дальних уходящих линий.

Невидимые линии также обязательно следует рисовать. Перед тем, как будете рисовать самое дальнее вертикальное бедро, убедитесь, что их точки схода расположены правильно. Если они расходятся и это заметно, то необходимо еще раз все тщательно проверить и исправить рисунок, самое главное не испортить его. Если расхождение линий не такое большое, необходимо просто немного подкорректировать линии и нарисовать дальше бедро, которое будет располагаться вертикально.

Как только, вы закончили с построением, выделите ближние к себе линии. Если линия темная — будет казаться, что она ближе. Зная это, можно передать пространство и объем.

Виды штриховки

Перед тем, как мы начнем штриховать куб, вкратце расскажу о том, как техники нанесения линий существуют. Так сложилось, что художники люди творческие и следовать четким правилам им не свойственно, поэтому нет конкретного материала, в котором бы черным по белому были описаны техники штрихования. Однако несколько техник все же используются чаще других, что делает их самыми популярными и основными, среди них:

• Параллельная;
• Перекрестная;
• По контуру;
• Точечная.

В подробном рассмотрении затрону лишь те техники, которые могут пригодиться для штриховки куба.

Параллельная

Состоит из параллельных линий горизонтального или вертикального положения, толщину линий, расстояние между ними и количество слоев индивидуальны. Зависят от того, какая цель перед художником.

Перекрестная

Параллельные вертикальные и горизонтальные линии перекрывают друг друга, образовывая данный подход. Не рекомендуется прямые горизонтальные линии, перекрывать прямыми вертикальными и наоборот, чтобы не создать эффект решетки. Линии должны быть под наклоном, даже если наклон минимальный.

Точечная

По названию не сложно догадаться, что штриховка происходит с помощью точек, расположенных рядом друг c другом. Плотность и количество слоев на ваше усмотрение.

Кубическая функция

Кубическая функция – это функция вида Y=X³.

Построим график функции y = x3. Составим таблицу соответственных значений x и y, округляя значения y до сотых:

X	-2	-1.5	-1	-0.5	0.5	1	1.5	2
Y	-8	-3.38	-1	-0.13	0.13	1	3.38	8

Из таблицы видно, что графиик функции в начале координат почти сливается с осью x.

Выясним некоторые свойства функции Y=X³ :

• График функции неограниченно продолжается вверх справа от оси y и неограниченно продолжается вниз слева от оси y.

• Если x = 0, то y = 0. То есть график функции проходит через начало координат

• Если x > 0, то y > 0, если x

• Противоположным значениям x соответствует противоположные значения y. Это следует из того, что (-x)³=-x³ для любого значения x. Значит, точки графика, имеющие противоположные абсциссы, симметричны относительно начала координат.

Теперь немного поговорим о графиках многочленов.
График любого многочлена третьей степени y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) принципиально имеет следующий вид:

Тот же график, но в уменьшенном масштабе имеет следущий вид:

В этом примере коэффициент при старшей степени a , поэтому график развёрнут «наоборот». Принципиально такой же вид имеют графики многочленов 5-ой, 7-ой, 9-ой и других нечетных степеней. Чем выше степень, тем больше промежуточных «загибулин».

Многочлены 4-ой, 6-ой и других четных степеней имеют график принципиально следующего вида:

Популярные способы

Параллельная и перекрестная штриховка — это линейные методы рисования, которые используются для создания текстуры и иллюзии формы и света. Обычно используется как метод нанесения, когда средство для рисования имеет линейный характер, параллельные и перекрестные штрихи часто используются вместе.
Оба метода хорошо работают с различными средствами для рисования, включая перо и чернила, графит, цветные карандаши и пастель. Но учиться стоит с помощью простого карандаша.

Некоторые художники предпочитают использовать параллельную или перекрестную штриховку в определенном рисунке, чтобы создать гармонию. Однако чаще эти две техники используются вместе в одном и том же рисунке или картине.

Хотя использование этих техник в штриховом рисунке может создавать различные текстуры, эта техника в основном используется для создания реалистичного изображения. Расставление акцентов, теней и плотности нанесения в работе приводит к иллюзии формы предмета, а также иллюзии определенного источника света.

Параллельная

Параллельные штрихи создаются, когда непересекающиеся линии используются для указания плотности линий на объекте или вокруг него. Плотность линий, добавляемых к объекту, зависит от местоположения источника света. В областях основной тени создается больше отметок, в то время как в более светлых областях должно быть меньше отметок.

Когда в рисовании используются параллельные штрихи, они, как правило, идут в одном и том же направлении и в основном параллельны друг другу. Иногда они могут слегка изгибаться или даже сильно отклоняться в зависимости от контуров объекта. Штрихи такого типа называются контурными.
При правильном использовании штриховки по форме контурные линии могут усилить иллюзию формы, предоставляя зрителю информацию о реальных трехмерных качествах объекта.

Создавая рисунок штрихами и линиями, изменяя частоту их использования и расстояния между ними, художник может создать полный диапазон значений на изображении. Предполагая, что художник работает на белой бумаге, большее расстояние между линиями (больше показа бумаги) приведет к более светлым значениям на рисунке. Меньшее расстояние между линиями, естественно, приведет к более темным значениям на рисунке.

Перекрестная

Когда используется перекрестная штриховка изображений, художник может начать добавлять параллельные штрихи, но затем разрешить линиям пересекаться друг с другом. Чем больше линии пересекаются, тем темнее становится изображение.

Многие художники подходят к добавлению пересекающихся линий как к науке, следуя определенному порядку вертикальных линий, за которыми следуют горизонтальные линии, затем диагональные линии и так далее.

Этот метод производит очень обдуманные и контролируемые метки, которые являются очень точными. Другие просто случайным образом пересекают линии, что приводит к «более свободным» рисункам. Ни один из способов не лучше, как таковой. Некоторые более свободные подходы работают лучше для некоторых предметов, в то время как более жесткие подходы подходят для других предметов.

Законы рисования в угловой перспективе

• Перспектива. Если присмотреться к башне внимательней, можно увидеть, что передний угол пьедестала находится ближе. Это возможно благодаря тому что основание представляет собой трапецию, а не квадрат.
• Расположение. Опять же, нужно посмотреть на пьедестал. Он располагается ближе, чем все остальные части конструкции.
• Размер. Срединная вертикаль – это место, где сходятся направляющие линии. Так как она находится в центре башни, он кажется больше и ближе.
• Перекрытие. Мы не видим задние углы всей башни, потому что они перекрыты передними. Этот приём тоже создаёт эффект объемности фигуры.
• Затенения. Та сторона, которая противоположна свету, рисуется более тёмной. Это создаёт глубину.
• Тени. Без них нарисованный объект парил бы в воздухе. Они делают башню более реалистичной.
• Контур. Все изображение строится на основе контурных линий. С помощью них можно дорисовать любые детали.
• Горизонт. А эта линия является образующей. Благодаря ей мы можем понять расположение глаз рисующего относительно объекта.
• Плотность. С помощью тех же опорных точек можно нарисовать ещё много башен различного размера.

Эти законы обязательно нужно запомнить, чтобы облегчить процесс рисования и сделать его правильным. Сделать это можно при помощи ассоциаций или смешного предложения на начальные буквы каждого слова. Например: “Пушистая рыжая рысь пошла за тем красным говорливым попугаем”

Штрихование объемного предмета

Давайте поэтапно создадим рисунок карандашом используя штриховку.

Нарисуйте контур объекта карандашом. Перед штриховкой вам нужно нарисовать фактическую форму или объект, который вы хотите заштриховать. Найдите реальный предмет, фотографию или представьте свой собственный.

Лучше всего начать с рисования трехмерной геометрической фигуры с четкими угловыми линиями.

Когда рисуем рисунок карандашом важно определить правильное освещение. Прежде чем добавлять какие-либо линии, рассмотрите предмет и изучите, как свет попадает на объект и отражается от его поверхности

Это поможет определить, какие области рисунка должны иметь наименьшее затенение, а какие — более сильное.

Если предмет находится в вашем воображении, попробуйте представить, как свет упадет, или найдите похожий предмет для исследования.
Обратите внимание, что самые легкие участки не будут иметь линий. Ваш воображаемый источник света попадет прямо в эти области, поэтому у них не должно быть теней.
Области и поверхности, более удаленные от вашего воображаемого источника света, должны быть более темными и потребовать дополнительной штриховки.
Если вам сложно представить источник света и отбрасываемые им тени, найдите фотографию простого объекта, освещенного одним источником света

Обратите внимание, где падают свет и тени, и попробуйте скопировать этот эффект с помощью штриховки.

Нарисуйте штриховые линии, где тени падают на объект. Нарисуйте ваш базовый слой стандартных штрихов по контуру. Держите линии в каждой секции параллельно друг другу, даже если они изгибаются по контурам предмета.

Поместите больше штрихов ближе друг к другу в секциях, которые нуждаются в более сильном затенении. Для участков, которым требуется более светлый оттенок, расположите метки штриховки дальше друг от друга и используйте меньше штрихов в целом. Базовые линии должны указывать, какие области темнее других, даже до добавления штриховки.

Добавьте линии штриховки. Нарисуйте слой перпендикулярных или почти перпендикулярных поперечных штрихов над базовым слоем. Постарайтесь, чтобы расстояние, количество и расположение поперечных штрихов были такими же, как и у меток базовой штриховки, чтобы области рисунка с большим количеством штрихов также имели больше линий.

Пройдитесь по рисунку чернильной или гелевой ручкой. Это в том случае, если вы почувствовали в себе силы, если нет, просто пройдитесь темным карандашом. В тот момент, когда вы глянете на изображение и решите, что оно готово, поверх линий, нарисованных карандашом, пройдитесь чернилами.

При работе с чернилами, сперва нарисуйте линию на отдельном клочке бумаги, прежде чем переходить к рисунку. Это позволит выгрузить часть излишков чернил и не наставить клякс на рисунке.
Сначала пройдитесь по контуру чертежа, а затем проработайте каждый раздела штриховки

Работайте осторожно и старайтесь как можно точнее следовать ранее созданным линиям
При необходимости вы можете добавить дополнительные штрихи, но старайтесь не увлекаться, поскольку вы не сможете отменить ни одну из отметок, сделанных на этом шаге.
Обратите внимание, что любые отметки карандашом, которые все еще видны после чернил, могут сделать рисунок темнее, чем он должен быть, не беспокойтесь по этому поводу.

Сотрите линии, нарисованные карандашом, когда чернила высохнут. Дайте чернилам высохнуть, затем используйте ластик, чтобы аккуратно удалить все видимые следы карандаша с окончательного рисунка.

Подождите, пока чернила высохнут, прежде чем пытаться стереть. Если вы проведете ластиком по рисунку, пока чернила еще мокрые, вы размажете их и испортите четкость штриховки.

Такой рисунок карандашом со штриховкой под силу начинающим художникам, главное следовать советам и не бояться, что не получится.

Как построить фронтальную перспективу поэтапно

Для того, чтобы сделать метод понятным и легким, давайте рассмотрим построение фигуры шаг за шагом. В качестве иллюстрации приведем готовый цветной рисунок фронтальной перспективы куба (параллелепипеда).

Фронтальная перспектива куба (параллелепипеда)

Шаг 1 — горизонт и точка схода

На первом этапе мы определяем основные элементы рисунка в перспективе: линию горизонта и точку схода. Технически, оба элемента можно нарисовать где угодно, однако на практике не каждая выбранная позиция будет удачной.

Рисование во фронтальной перспективе

Шаг 2 — линии схода

Теперь нам нужно прочертить две линии схода, которые определят ширину фигуры. Вдоль них будут проходить боковые грани параллелепипеда.

Линии схода

Шаг 3 — основание фигуры

С помощью двух линий схода можно изобразить основание фигуры. Для этого нужно просто провести две горизонтали из одной линии схода в другую. Таким образом мы задаем глубину нашего прямоугольного параллелепипеда. Боковые кромки (левая и правая) получаются простой прорисовкой линий схода между двумя горизонталями.

Основание фигуры

Шаг 4 — вертикальные ребра

Возьмем две угловые точки в ближней к нам части фигуры и нарисуем из них две вертикальные линии вверх. Эти отрезки представляют собой ребра передней грани параллелепипеда.

Вертикальные ребра

Шаг 5 — пересечение верхних линий

На пятом шаге построим еще две линии схода, которые пересекают нарисованные ранее вертикали. Таким образом задается высота параллелепипеда

При этом важно, чтобы два вертикальных ребра были на одной высоте. Проще всего выполнить шаг 5 вместе с шагом 6

Пересечение верхних линий

На этом шаге мы нарисовали все необходимые линии схода. Как вы можете видеть, все они возникают из одной и той же точки схода. Эта особенность одноточечной перспективы и делает этот вид перспективы сравнительно легким.

Шаг 6 — рисуем переднюю грань

Теперь нарисуем переднюю грань фигуры. Для этого две точки пересечения между вертикалями и верхними линиями схода соединяются горизонтальной чертой. Звучит сложнее, чем есть — просто посмотрите на картинку ниже. Горизонтальная черта автоматически приведет к точке пересечения второй линии схода. Мы уже сделали это в пункте 5. Еще можно было бы сделать так: рисуется только одна линия схода, затем горизонтальный верхний край фигуры, а затем вторая линия схода.

Передняя грань

Шаг 7 — дальние вертикальные ребра

На седьмом шаге рисуем еще две вертикальные линии в двух дальних угловых точках основания фигуры. Они представляют собой дальние ребра.

Дальние вертикальные ребра

Новые линии должны быть соединены друг с другом горизонтальным отрезком так же, как на шаге 6.

Задняя грань

Шаг 9 — верхние боковые ребра

Теперь нам осталось только нарисовать верхнюю поверхность фигуры. В одноточечной перспективе это просто прорисовывание верхних линий схода — между двумя верхними горизонтальными ребрами.

Верхние боковые ребра

Шаг 10 — готовый рисунок

Построение фронтальной перспективы параллелепипеда готово. Для того, чтобы получить окончательную фигуру, надо просто стереть ненужные элементы рисунка (линии схода и невидимые ребра). Невидимые ребра изображены светло-серым цветом на рисунке ниже.

Параллелепипед во фронтальной перспективе — финал

Как видите, рисовать в одноточечной перспективе несложно. Конечно, этот пример — очень простое упражнение на рисование фронтальной перспективы. С более замысловатыми объектами сложность возрастает, но, тем не менее, базовые принципы остаются теми же самыми.

Построение куба в перспективе

При построении куба нужно исходить из того, что все его стороны и грани равны. Однако, с визуальной точки зрения все грани куба будут равны только в случае, если он расположен точно перед смотрящим, а обращенная к смотрящему сторона куба точно перпендикулярна его взгляду. Во всех остальных случаях будут иметь место перспективные сокращения.

Учитывая одинаковость всех сторон куба очень важно правильно измерить визуальное направление линий граней куба, их размеры и положение относительно друг друга. Если при замерах будут неточности, которые перекочуют в рисунок, в дальнейшем, при восприятии готового изображения, зритель невольно будет ощущать, что куб имеет не совсем правильные формы

Если куб расположен прямо перед зрителем

Здесь рассмотрим только вариант расположения куба прямо перед зрителем ниже линии горизонта. В этом случае будут видны две стороны куба: фронтальная и верхняя. При учебном рисовании фронтальную сторону можно изобразить в виде обычного квадрата.

Для построения верхней стороны куба требуется нарисовать линию горизонта. Затем на линии горизонта отметить , которая будет расположена точно посередине ранее нарисованного квадрата. Далее следует соединить два верхних угла квадрата с точкой схода. При рисовании с натуры на следующем этапе нужно измерить соотношение высоты видимой фронтальной стороны куба и видимой верхней стороны. Далее это соотношение перенести на рисунок и отметить дальнюю грань верхней стороны куба. После этого провести горизонталь через полученную отметку до линий, уходящих к точке схода. Если рисуется воображаемый куб, то последние описанные выше действия придется делать на глазок, как подсказывает интуиция.

Если куб расположен под углом к зрителю

При расположении куба отличном от точно фронтального, будут видны две или три стороны куба и при построении на линии горизонта образуются . Рассмотрим случай, когда куб расположен ниже линии горизонта под углом к смотрящему. При таком положении куба будут видны три его стороны.

Для начала нужно нарисовать вертикальную линию, которая будет обозначать ближайшую к зрителю грань куба. После этого требуется определить нахождение линии горизонта относительно нарисованной вертикали и отобразить ее. Затем нужно измерить направление исходящих от ближайшей вертикальной грани тех граней, которые сопряжены с ней и уходят в перспективу. После чего следует мысленно перенести направления перспективных граней на рисунок и провести по ним линии от ближайшей вертикальной грани до пересечения их с линией горизонта. Если сделать все правильно, то все грани, уходящие влево от указанной вертикали сойдутся в одной точке схода слева. Те же грани, что визуально уходят вправо сойдутся во второй точке схода на линии горизонта, расположенной справа от первой вертикали.

После этого нужно измерить видимую ширину вертикальных правой и левой сторон куба и на основании замеров провести вертикали, обозначающие дальние вертикальные грани куба. При этом вертикали пересекутся с гранями, уходящими в перспективу. От точек их пересечения с верхними перспективными гранями следует провести линии, уходящие к точкам схода в следующей последовательности: от левой грани к правой точке схода, от правой грани к левой точке схода. При пересечении последних проведенных линий образовался самый дальний от зрителя угол куба.

Из самого дальнего верхнего угла куба проводим вертикаль вниз. Из самого левого нижнего угла проводим линию в точку схода справа, из правого угла в левую точку схода. Последние две линии в идеале должны пересечься между собой в том же месте, где они пересекаются с последней проведенной вниз вертикалью. С помощью построений из этого абзаца построены невидимые грани куба. Они дают понимание устройства куба, что пригодится при дальнейшем рисовании.

Очень важное замечание! Часто при построении более одной точки схода они могут располагаться за пределами рисунка. В этом случае их можно дорисовывать прямо на поверхности, на которой расположен лист с рисунком, либо мысленно достраивать, запоминая их расположение в пространстве для дальнейших построений

График кубической функции. Построить кубическую функцию. Кубическая парабола график.

Как построить график кубических функций вида \(y = a (x − h)3 + k\). В этой статье мы покажем как построить график кубических функций путем построения точек. Общая формула кубической функции:

 где \(a, b, c\) и \(d\) являются действительными числами  и  \(a\) не равно нулю.

Построим график кубических функций путем построения точек.

Пример 1. Постройте график \(y = x^3 + 3\) на промежутке \(-3 ≤ x ≤ 3\).

Решение. 

Выберем произвольные точки \(x \) и посчитаем соответсвующие им значения \(y\):

Построим точки из таблицы и плавно соединим их:

Пример 2. Постройте график \(y = x^3-9x + 5\) на промежутке \(-4 ≤ x ≤ 4\):

Решение.  Строим график аналогично первому примеру:

1) когда  \(x = 1.6, \;y≈ –5.3\)

2) когда \(y = 12, \;x ≈ –0.8 \)  или  \( x ≈ –2.5\)

Теперь выведем правила построения графиков кубических функций вида \(y = a (x − h)^3 + k\).

• Если \(k > 0\), то график сдвигается на  \(k\) единиц вверх; если \(k < 0\), то график сдвигается на \(k\) единиц вниз.
• Если \(h > 0\),то график сдвигается  на \(h\) единиц вправо; если \(h < 0\), то график смещается на \(h\) единиц влево.
• Если \(a < 0\), график переворачивается.

Больше уроков и заданий по математике вместе с преподавателями нашей онлайн-школы «Альфа». Запишитесь на пробное занятие уже сейчас!

Выделение ближних линий и штриховка

Главная задача штриховки — передать объем предметов. К штриховке нельзя приступать, если рисунок выполнен неправильно. Лучше начать заново или попытаться исправить текущий.

На кубе мы можем увидеть всего три плоскости — это верхняя и две боковые грани. Визуально каждая из граней уходит от смотрящего в пространство. Для того, чтобы показать форму, необходимо штриховать грани куба так, чтобы смотрящему было очевидно, что они действительно отдаляются.

Для того чтобы передать пространство применяются законы воздушной перспективы. Темные цвета светлеют в дали, а светлые — наоборот темнеют.

Может показаться, что куб настолько мал, что влияние воздушной перспективы незаметно, но мы должны рисовать руководствуясь законами, только соблюдая их куб станет объемным.

Сама штриховка начинаем строго с теневой части. У нашего куба грань справа в тени, поэтому начнем именно с нее. Штрихуем от себя. По мере удаления плоскости в пространстве нажим на карандаш слабее, это делает штрих светлее. Штриховка может быть как вертикальной, так и горизонтальной.

Осветленную левую часть штрихуем от себя, при этом левый угол оставляем белым, но слегка штрихуем дальнюю часть.

Верхнюю поверхность делаем как полутон (промежуточное состояние между тенью и светом). Теперь оценим ее, задаваясь вопросом: «Она скорее светлая или темная?»

Всегда можно усилить тень, введя еще штрих, направленный строго по диагонали, также необходимо его растягивать — от темного к светлому. Подчеркиваем форму, делая тональные акценты, для этого можно использовать штриховку в разные стороны.

Не стоит забывать про тень от куба, которая расположена на плоскости, на которой он находится. Падающая тень на порядок темнее тени собственной. Плюс она граничит с рефлексом от освещенной плоскости (рефлекс — свет или цвет, отраженный от соседних поверхностей. Рефлекс тем светлее, чем источник отражающего света ярче и гораздо ближе).

Зеленый, красный и серый рефлексы на белом шаре.

Правила накладывания штрихов

Существуют правила, которые помогают добиться желаемого результата и сделать штриховку красивой. Если им следовать получится быстрее освоить техники и перейти к сложным изображениям.

• Штрихи нужно наносить от тени к свету. У всех предметов есть темные и светлые участки, на которые нужно смотреть при рисовании. Штрихи нужно наносить плавно, от темного к светлому.
• Не объединяйте перекрестную штриховку и растушевку. Могут появиться темные пятна, больше похожие на грязь или случайный мазок рукой.
• При заполнении большого участка, не пытайтесь одним штрихом охватить всю длину или ширину, рисуйте комфортными по длине штрихами.
• Штрихуя последующие слои пытайтесь не попадать на линии, накладывайте штрихи посередине предыдущих.