Тест миллера (теория чисел)

неслучайных отношений окружающего

Описание принципа

Описание алгоритма

Принцип работы

Тест Миллера основывается на том, что нечётное составное число n{\displaystyle n} либо является степенью некоторого простого числа, либо существует простое число, лежащее в интервале от 2{\displaystyle 2} до некоторой функции f(n){\displaystyle f(n)}, зависящей от n{\displaystyle n}, не являющееся данного числа по Миллеру.

Алгоритм

Ввод: n > 2, нечётное натуральное число, которое необходимо проверить на простоту;
Вывод: составное, означает, что n является составным числом;
       простое, означает, что n является простым числом.
(1)  Проверить, является ли n степенью какого-либо числа.
     если является, то вернуть составное
(2)  Найти первые m простых чисел p1,...,pm{\displaystyle p_{1},...,p_{m}}, где m такое, что pm≤f(n)≤pm+1{\displaystyle p_{m}\leq f(n)\leq p_{m+1}}
     Вычислить s{\displaystyle s} и q{\displaystyle q} такие, что n−1=q⋅2s{\displaystyle n-1=q\cdot 2^{s}} и q{\displaystyle q} - нечётное
     Положить i=1{\displaystyle i=1} перейти на шаг (4)
(3)  если i≤m{\displaystyle i\leq m}, то i=i+1{\displaystyle i=i+1} 
     если i>m{\displaystyle i>m}, то вернуть простое
(4)  если pi|n{\displaystyle p_{i}|n}, то вернуть составное
     Вычислить piqmodn,piq⋅2modn,...,piq⋅2smodn{\displaystyle p_{i}^{q}{\bmod {n}},p_{i}^{q\cdot 2}{\bmod {n}},...,p_{i}^{q\cdot 2^{s}}{\bmod {n}}}
(5)  если piq⋅2smodn≠1{\displaystyle p_{i}^{q\cdot 2^{s}}{\bmod {n}}\neq 1} то вернуть составное
(6)  если piqmodn=1{\displaystyle p_{i}^{q}{\bmod {n}}=1} то перейти на шаг (3)
     Положить j=max(jpiq⋅2jmodn≠1){\displaystyle j=\max(j:p_{i}^{q\cdot 2^{j}}{\bmod {n}}\neq 1)}
(7)  если piq⋅2jmodn=n−1{\displaystyle p_{i}^{q\cdot 2^{j}}{\bmod {n}}=n-1} то перейти на шаг (3)
(8)  вернуть составное

Модель Модильяни-Миллера без учета налогов

Эта модель, представленная учеными изначально, в 1958 году, основывается на простейших условиях, которые в реальности не могут быть выполнены. Рассмотрим данную модель для простоты расчетов и понимания ее сущности.

Исходные предположения

Итак, условия «совершенного рынка», при которых гипотеза Модильяни-Миллера справедлива:

Все компании на рынке в одинаковой степени подвергаются риску.
Ожидаемая доходность от использования заемных средств ниже ожидаемой доходности от собственных средств.
Комиссии за транзакции по ценным бумагам отсутствуют.
Затраты на эмиссию отсутствуют.
Какие-либо ограничения на куплю-продажу ценных бумаг (по количеству, срокам и т.д.), а также любые требования к участникам рынка ценных бумаг отсутствуют.
Инвесторы не могут влиять на котировки акций.
Форс-мажорные обстоятельства не принимаются во внимание.
Информация о ценных бумагах бесплатна и находится в открытом доступе.
Нулевое налогообложение.
Вся прибыль направляется на выплату дохода акционерам.

Основные положения модели

Начнем с того, что налоги являются важной составляющей финансового планирования

Если не принимать во внимание налогообложение для любых расчетов, вся эффективность таких расчетов сводится к нулю

Нет таких компаний, которые не уплачивают налоги с доходов, поэтому фискальные платежи закладываются в цену любого актива – будь то акция, любой товар общественного потребления или даже целая компания.

Предположим, если доходы компании практически равны расходам, т.е. прибыль отсутствует, при этом отсутствует и налог. Это будет означать следующее:

• предприятие имеет высокую кредиторскую задолженность, в том числе, возможно, просроченные долги;
• для инвесторов такая компания не будет привлекательна, т.к. отчеты о результатах деятельности публикуются ежегодно;
• и, наконец, все оборотные средства такое предприятие будет стараться расходовать на оплату долгов.

Финансовым рычагом (финансовым левериджем, кредитным плечом) называется соотношение между заемным и собственным капиталом, выражаемое формулой:

\

где Кфр – коэффициент финансового рычага;

ЗК – заемный капитал;

СК – собственный капитал.

Рассмотрим 2 основные теоремы.

Первая теорема

Рыночная цена компании определяется размером полученной прибыли и не зависит от величины финансового рычага.

Рыночная цена предприятия выражается формулой:

\

где V – рыночная цена компании;

P – операционная прибыль;

Kск – ожидаемая доходность на собственный капитал при отсутствии займов.

Средневзвешенная цена капитала равна ожидаемой доходности на собственный капитал и является постоянной величиной.

WACC=Kск;

где WACC – средневзвешенная цена капитала.

Вторая теорема

Стоимость акционерного капитала финансово зависимой компании равна сумме стоимости акционерного капитала финансово независимой компании того же класса риска и премии за риск.

Если компания использует финансовый рычаг, то формула расчета доходности будет иметь следующий вид:

\

где r –премия за риск, которая рассчитывается следующим образом:

\

где Kl – ожидаемая доходность на акционерный капитал для предприятия, использующего финансовый рычаг;

D – рыночная цена заемного капитала;

E – рыночная цена собственного капитала;

Kск – ожидаемая доходность на собственный капитал при отсутствии займов;

Kd – ожидаемая доходность заемного капитала.

Согласно второй теореме, по мере увеличения стоимости привлеченных средств растет цена акций предприятия. Экономическая выгода от использования займов компенсируется увеличением риска и, соответственно, котировок акций.

Итак, согласно теории Модильяни-Миллера, рыночная цена фирмы и стоимость ее акций не зависит от структуры источников финансирования при отсутствии налогов.

Достойная смена

У Алексея Алексеевича есть сын Дмитрий (1960 г. р.), который также стал продолжателем дела семьи. Сейчас он довольно известный психолог, доктор наук, профессор МГУ, директор Института экзистенциальной психологии и жизнетворчества.

Также у А. А. Леонтьева есть дочь, но о ней, к сожалению, ничего не известно, кроме того, что она тоже училась в МГУ.

Определение

Гипотеза Модильяни-Миллера выражает предположение о том, что рыночная цена фирмы не зависит от источников средств при условии рационального расходования денег и грамотного управления структурой пассивов.

Рыночная стоимость предприятия – это оценочный показатель, суммирующий рыночную стоимость всех источников финансирования.

Источники финансирования – это пассивы предприятия, которые состоят из:

• собственного капитала – акции компании;
• заемного капитала – долговые обязательства (облигации) компании.

Если привлечение заемных средств приносит большую прибыль, чем использование средств собственных, часть акционерного капитала может быть замещена заемным посредством следующих шагов:

1. Инвесторы продают часть своих акций.
2. На полученные средства приобретаются акции предприятий, финансируемых исключительно за счет собственных источников.
3. Та часть денег, которая была «выведена» из стоимости пассивов, замещается заемными средствами (например, компания выпускает облигации).

Таким образом, рыночные цены компаний с низкими и высокими долями заемного капитала будут постепенно уравниваться при одновременно проводимых транзакциях с ценными бумагами.

Детерминированные варианты

Проба Миллера

Алгоритм Миллера – Рабина можно сделать детерминированным, попробовав все возможные значения a ниже определенного предела. Проблема в целом состоит в том, чтобы установить предел, чтобы тест оставался надежным.

Если тестируемое число п является составным, сильными лжецы взаимно простой с п содержатся в надлежащей подгруппе группы ( Zп Z ) *, что означает , что если мы тестировать все A из набора , который генерирует ( Zн Z ) *, один из них должен лежать вне указанной подгруппы, следовательно, должен свидетельствовать о составности n . Предполагая истинность обобщенной гипотезы Римана (GRH), известно, что группа порождается своими элементами, меньшими, чем O ((log  n ) 2 ) , что уже было отмечено Миллером. Константа, используемая в нотации Big O, была уменьшена Эриком Бахом до 2 . Это приводит к следующему алгоритму условной проверки простоты, известному как тест Миллера

Input: n > 1, an odd integer to be tested for primality
Output: “composite” if n is composite, “prime” otherwise

write n as 2r·d + 1 with d odd (by factoring out powers of 2 from n − 1)
WitnessLoop: for all a in the range [2, min(n−2, ⌊2(ln n)2⌋)]:
   x ← ad mod n
   if x = 1 or x = n − 1 then
      continue WitnessLoop
   repeat r − 1 times:
      x ← x2 mod n
      if x = n − 1 then
         continue WitnessLoop
   return “composite”
return “prime”

Полная мощность обобщенной гипотезы Римана не требуется для обеспечения корректности теста: поскольку мы имеем дело с подгруппами четного индекса , достаточно предположить справедливость GRH для квадратичных характеров Дирихле .

Время работы алгоритма, в обозначениях O ((журнал п ) 4 ) ( с использованием БПФ на основе умножения).

Тест Миллера на практике не используется. В большинстве случаев правильное использование вероятностного критерия Миллера – Рабина или критерия простоты Бейли – PSW дает достаточную уверенность при гораздо более быстром беге. На практике он также медленнее, чем обычно используемые методы доказательства, такие как APR-CL и ECPP, которые дают результаты, не основанные на недоказанных предположениях. Для теоретических целей, требующих детерминированного алгоритма полиномиального времени, он был заменен тестом простоты AKS , который также не полагается на недоказанные предположения.

Тестирование на небольших наборах баз

Когда число n, которое нужно проверить, мало, пробовать все a <2 (ln n ) 2 не нужно, поскольку известно, что достаточно гораздо меньших наборов потенциальных свидетелей. Например, Померанс, Селфридж, Вагстафф и Яешке подтвердили, что

• если n <2,047, достаточно проверить a = 2;
• если n <1,373,653, достаточно проверить a = 2 и 3;
• если n <9 080 191, достаточно проверить a = 31 и 73;
• если n <25,326,001, достаточно проверить a = 2, 3 и 5;
• если n <3 215 031 751, достаточно проверить a = 2, 3, 5 и 7;
• если n <4,759,123,141, достаточно проверить a = 2, 7 и 61;
• если n <1,122,004,669,633, достаточно проверить a = 2, 13, 23 и 1662803;
• если n <2,152,302,898,747, достаточно проверить a = 2, 3, 5, 7 и 11;
• если n <3,474,749,660,383, достаточно проверить a = 2, 3, 5, 7, 11 и 13;
• если n <341,550,071,728,321, достаточно проверить a = 2, 3, 5, 7, 11, 13 и 17.

Используя работу Фейтсмы и Голуэя по перечислению всех псевдопростых чисел с основанием 2 в 2010 году, это было расширено (см. OEIS :  A014233 ), и первый результат позже был показан с использованием различных методов у Цзян и Дэн:

• если n <3,825,123,056,546,413,051, достаточно проверить a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 и 23.
• если n <18 446 744 073 709 551 616 = 2 64 , достаточно проверить a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и 37.

Соренсон и Вебстер проверяют сказанное выше и вычисляют точные результаты для этих результатов, превышающих 64-битные:

• если n <318,665,857,834,031,151,167,461, достаточно проверить a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 и 37.
• если n <3 317 044 064 679 887 385 961 981, достаточно проверить a = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 и 41.

Существуют и другие критерии такого рода, часто более эффективные (требуется меньшее количество баз), чем указанные выше. Они дают очень быстрые детерминированные тесты на простоту чисел в соответствующем диапазоне без каких-либо предположений.

Существует небольшой список потенциальных свидетелей для каждого возможного размера ввода (не более b значений для b- битных чисел). Однако для всех составных чисел не может быть достаточного конечного набора базисов. Алфорд, Гранвиль и Померанс показали, что существует бесконечно много составных чисел n , наименьший свидетель составности которых не меньше (ln n ) 1 / (3ln ln ln n ) . Они также эвристически утверждают, что наименьшее число w такое, что каждое составное число ниже n имеет свидетельство составности меньше, чем w, должно быть порядка (log n log log n ).

Пример реализации алгоритма.

Пример реализации алгоритма, на языке программирования C# (.NET Framework 3.5, 4.0).

Это только один из примеров, и переменную maxChecked, можно определить по другому, и по формуле 2⋅ln2(n){\displaystyle 2\cdot ln^{2}(n)} от проверяемого числа (классический тест Миллера), и по точным значениям для чисел, меньших чем 1036{\displaystyle 10^{36}}, описанным выше, и вообще произвольным образом так, что получится реализация алгоритма Миллера-Рабина.

public bool IsPrime_AlgMiller(BigInteger checkingNum)
{
    // (если является степенью другого числа)
    if (IsPowerOfNumber(checkingNum))
        return false;

    BigInteger logN = new BigInteger(BigInteger.Log(checkingNum));
    BigInteger loglogN = new BigInteger(BigInteger.Log(logN));
    BigInteger maxChecked = logN * loglogN  (new BigInteger(BigInteger.Log(2)));

    // maxChecked: получено максимальное основание, для проверки на сильную псевддопростоту. Это один из примеров.
    BigInteger baseCurrent = new BigInteger(2);

    bool isPrime = true;

    while (baseCurrent <= maxChecked)
    {
        // (если не сильно псевдопростое по этому основанию)
        if (! IsStrongPseudoPrime(checkingNum, baseCurrent))
        {
           // (тогда число не простое)
           isPrime = false;
           break;
        }

        baseCurrent = NextPrime(baseCurrent);
    }

    return isPrime;
}


public bool IsStrongPseudoPrime(BigInteger checkingNum, BigInteger baseCurrent)
{
    BigInteger exp = checkingNum - 1;

    // (exp будет меняться, а проверка остатка -1 эквивалентна проверке остатка (checkingNum - 1))
    BigInteger ost_1 = exp;

    BigInteger res = BigInteger.ModPow(baseCurrent, exp, checkingNum);

    if (res != 1)
        return false;

    // (тест Ферма пройден)

    while (true)
    {
        // (четное; при первом попадании всегда будет четным, далее цикл до тех пор пока снова станет нечетным)
        exp = exp  2;

        // (остаток -1 всегда должны проверить)
        res = BigInteger.ModPow(baseCurrent, exp, checkingNum);

        if (res == ost_1)
            return true;

        // (снова стало нечетным — нужно проверить еще на 1)
        if (!exp.IsEven)
        {
            res = BigInteger.ModPow(baseCurrent, exp, checkingNum);
            if (res.IsOne)
               return true;

            break;
        }
    }

    return false;
}


public BigInteger NextPrime(BigInteger num)
{
    //...
}

public bool IsPowerOfNumberBigInteger n)
// n=p^k => p-1|n-1 && 2^(p-1)=1(mod p) => 2^(n-1)=1(mod p) => p|2^(n-1)-1 => p|gcd(2^(n-1)-1,n)
{
    return BigInteger.GreatestCommonDivisor(BigInteger.ModPow(2, n - 1, n)-1, n)>1;
}

Остается реализовать только две функции —

1) NextPrime, которая получает число, и возвращает следующее за ним, простое число, оптимальная для нахождения именно малых простых чисел. Эта функция должна быть еще проще и быстрее.

2) IsPowerOfNumber — функция, немного более сложная, которая определяет, является ли передаваемое число, степенью другого, простого числа. Нужно найти максимально простую реализацию этой функции.

Также,

3) Можно ускорить реализацию алгоритма, отсеяв вначале, случаи, когда число делится на возможные малые делители, но часто-встречающиеся делители: 2,3,5,7,11… и только потом выполнять основную проверку по алгоритму Миллера.

В таком случае реализация алгоритма Миллера в предложенном примере, скорее всего, будет наибыстрейшей, для произвольных больших чисел. А сам алгоритм, как уже показано выше, претендует на звание самого быстрого достоверного алгоритма на проверку простоты (если верна обобщенная гипотеза Римана).

Эта реализация алгоритма была успешно протестирована и без использования функции IsPowerOfNumber.

Значение чисел

Практике нужна теория. Перед тем как перейти к программированию вещей, нужно узнать себя и свои числа судьбы. Каждая цифра имеет значение и традиционные символы. Рассмотрим их подробнее:

• – определяет цикличность процессов. Он олицетворяет абсолютное начало и конец, бытие и небытие. Это чистота, прозрачность и воздух. Ноль имеет абстрактную природу, поэтому в нумерологии его часто опускают.
• 1 – пионер всего в мире. С единицы проистекает мужская сила и мужественность, власть и стойкость. Солнце – это первый и главный источник жизни во Вселенной. Человек-солнце – источник энергии, царственности. Он щедр и одарит окружающих своим теплом и бескорыстием. Но не стоит ему доверять – легко можно обжечься. Импульсивность, гордыня и высокомерие характерны его благородной натуре.
• 2 – женское начало и луна жизни. Символизирует двойственность мира. Мягкость и глубина натуры – отличительные характеристики двойки. Таинственная и непостоянная форма Луны отражается в лунном человеке – изменчивость, капризность. Они легко могут изменить свое решение или уйти в мир иллюзий.
• 3 – триединство духа, души и тела. Тройка представляет закон построения всего на земле. Мудрость, дисциплина – вот главные характеристики этого числа. Человек с такой цифрой умеет и любит учиться. Но на ряду с тягой к саморазвитию, он отличается самоуверенностью и жаждой к наслаждениям. Юпитер – его Абсолют.
• 4 – статичность, твердость, устойчивость. Четверка создает форму. Четыре стороны света и четыре стихии создают наш мир. Властность и стабильность превалируют в характере человека.
• 5 – форма обретает дух. Геометрическая фигура пятиугольник символизирует человека. Стремление познать мир, любовь к путешествиям, ловкость и взаимодействие – истинные черты пятерки. Но не стоит забывать о том, что пятиугольник может перевернуться и тогда материальное будет преобладать над духовным, а динамичность Меркурия превратится в хитрость и обман.
• 6 – совершенная форма, неподвижная структура. Пчелиные соты, грани алмаза представляют стабильность и идеальность строения. Этому числу соответствует Венера – богиня гармонии. Но стремление к прекрасному может перерасти в жажду наслаждения, ревности и лени.
• 7 – слияние духовного и материального миров. Космическое число символизирует совершенство и целостность, глубокие познания, покровительство высших сил. Идеализм присущ с рождения, может превратиться в фанатизм и саморазрушение.
• 8 – бесконечность. Неминуемость перехода и разрушения характеризуют природу человека под этим числом. Время скоротечно. Юность перетекает в старость. Пессимизм к жизни, стремление к справедливости, следованию закона. Упорядоченность мыслей и действий создает впечатление холодности и угрюмости.
• 9 – сила, развитие и трансформация. Воинственная натура Марса откликается в характере человека. Ему не присущий страх, он агрессивен, жесток и вспыльчив.
• 10 – замыкание. Конец одного этапа – это начало следующего. Единица – поводырь десятки.

Сильно псевдопростые числа

Если число a является свидетелем простоты составного нечётного числа n по Миллеру, то число n, в свою очередь, называется сильно псевдопростым по основанию a. Если число n является сильно псевдопростым по основанию a, то оно также является псевдопростым Ферма по основанию a, так и по основанию a.

Например, сильно псевдопростые числа по основанию 2 образуют последовательность:

2047, 3277, 4033, 4681, 8321, 15841, 29341, 42799, 49141, 52633, 65281, 74665, … (последовательность A001262 в OEIS)

а по основанию 3 — последовательность:

121, 703, 1891, 3281, 8401, 8911, 10585, 12403, 16531, 18721, 19345, 23521, 31621, … (последовательность A020229 в OEIS)

Другие когнитивные числовые ограничения

Коуэн также отметил ряд других ограничений познания, которые указывают на «магическое число четыре», и в отличие от Миллера, он утверждал, что это соответствие не совпадение. Еще один процесс, который, кажется, ограничен примерно четырьмя элементами, — это субитизация , быстрое перечисление небольшого количества объектов. Когда некоторое количество объектов мигает на короткое время, их количество может быть определено очень быстро, с первого взгляда, если количество не превышает предел субитизации, который составляет около четырех объектов. Необходимо учитывать большее количество объектов, что является более медленным процессом. В фильме « Человек дождя» изображен аутичный ученый , который смог быстро определить количество зубочисток из всей коробки, разлитой на пол, по-видимому, подсчитав гораздо большее количество, чем четыре объекта. Подобный подвиг неофициально наблюдал нейропсихолог Оливер Сакс и сообщил в своей книге «Человек, который принял жену за шляпу» . Следовательно, можно было бы предположить, что этот предел — произвольный предел, налагаемый нашим познанием, а не обязательно физический предел. (С другой стороны, эксперт по аутизму Дэниел Таммет предположил, что дети, которых наблюдал Сакс, возможно, предварительно подсчитали совпадения в коробке.) Есть также свидетельства того, что даже четыре порции — это высокая оценка: Гобет и Кларксон провели эксперимент и обнаружили что более половины условий воспроизведения из памяти дало только около двух фрагментов. Исследования также показывают, что размер, а не количество фрагментов, которые хранятся в краткосрочной памяти, — это то, что позволяет улучшить память у людей.

Семь плюс минус два (7 ± 2). Кошелек Миллера

Эта закономерность «семь плюс-минус два»
была обнаружена американским учёным-психологом Джорджем Миллером
в результате ряда экспериментов и показывает, что кратковременная память человека способна запоминать в среднем
:

девять двоичных чисел,

восемь десятичных чисел,

семь букв алфавита

пять односложных слов.

Эта психологическая закономерность впервые была изложена в его работе «Магическое число семь плюс-минус два» (The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on our Capacity for Processing Information). Из всего этого следует, что обычный человек способен одновременно помнить 7 ± 2 элемента
. Получается, человек может держать во внимании (запомнить и повторить) не более 9 элементов, а часто и не более 5 .

Кошелек Миллера – это кратковременная память человека, в которую можно «положить» одновременно только семь «монет»

Причём важно, что память не пытается анализировать смысл информации, важны лишь внешние, общие характеристики.. Другими словами, не важно, какие «монеты» находятся в «кошельке», главное, что их семь

А если количество элементов больше семи (в крайнем случае, девяти), то мозг разбивает информацию на подгруппы так, чтобы их количество было от пяти до девяти.

Другими словами, не важно, какие «монеты» находятся в «кошельке», главное, что их семь. А если количество элементов больше семи (в крайнем случае, девяти), то мозг разбивает информацию на подгруппы так, чтобы их количество было от пяти до девяти.. Джордж Миллер (1920-2012)
— американский психолог

В сороковых годах прошлого века получил степень бакалавра искусств закончил в университете Алабамы, а в 1946 году защитил докторскую диссертацию по психологии в Гарварде.

Джордж Миллер (1920-2012)
— американский психолог. В сороковых годах прошлого века получил степень бакалавра искусств закончил в университете Алабамы, а в 1946 году защитил докторскую диссертацию по психологии в Гарварде.

После чего он становится профессором психологии в Рокфеллеровском Университете в Нью-Йорке, в Принстонском Университете. В 1969 году был избран президентом Американской психологической ассоциации. Джордж Миллер был награждён «William James Book Award» за свою книгу «The Science of Words», а также получил из рук президента Джорджа Буша старшего Национальную научную медаль Соединенных Штатов Америки.

Самая известная его работа «Магическое число семь плюс-минус два» (The Magical Number Seven, Plus or Minus Two: Some Limits on our Capacity for Processing Information) была опубликована в 1956 году в Psychological Review. Это число также называют числом Ингве-Миллера. опубликовано

Согласно которой кратковременная человеческая память , как правило, не может запомнить и повторить более 7 ± 2 элементов. Эта закономерность была изложена в его работе , увидевшей свет в 1956 году в журнале Psychological Review
.

Свойства

• Детерминизм: Тест является детерминированным, то есть для одного и того же n результат всегда будет один и тот же. Этим он отличается, например, от своей модификации, теста Миллера — Рабина, который является вероятностным.
• Полиномиальность: Время выполнения теста не более чем полиномиально зависит от битовой длины числа n, что выгодно отличает его от полного перебора, теста Ферма или решета Эратосфена. Тем не менее скорость выполнения теста на порядки медленнее, чем у теста Миллера — Рабина.
• Условность: В основной версии алгоритма тест основывается на недоказанной расширенной гипотезе Римана, то есть является условным. Этим тест отличается от теста Агравала — Каяла — Саксены, который полностью доказан (и также является детерминированным и полиномиальным). Также существует безусловная версия алгоритма, но она работает значительно медленнее, чем основная.

Предпосылки и цель

Закон Миллера решает две проблемы, которые в противном случае существовали бы при выполнении строительных проектов федерального правительства:

1. Обязательства по исполнению : отказ подрядчика от государственного задания или другое невыполнение его может вызвать критические задержки и дополнительные расходы в процессе государственных закупок. Процесс связывания помогает отсеять безответственных подрядчиков, которые могут быть не в состоянии получить облигации, а сама облигация покроет расходы правительства на замену деятельности в случае дефолта. Право суброгации поручителя по облигации против подрядчика, т. Е. Право поручителя предъявить иск подрядчику и любым принципалам, которые могли гарантировать залог, является сдерживающим фактором для неисполнения обязательств.
2. Платежные облигации : в противном случае субподрядчики и поставщики материалов неохотно работали бы над такими проектами (зная, что суверенный иммунитет препятствует установлению залогового права механика ), уменьшая конкуренцию и увеличивая затраты на строительство.

Определение Вебера

Эксперт — это человек, который знает все больше и больше о все меньшем и меньшем, и так до тех пор, пока он не начинает знать абсолютно все ни о чем.

История

Американские ученые-финансисты Франко Модильяни и Мертон Миллер в одной из своих работ в 1958 году высказали предположение о том, что рыночную цену любой компании определяют ее доходы, вне зависимости от источников их финансирования. Данная гипотеза вызвала широкий резонанс во взглядах на управление корпоративными финансами.

Почему финансирование с использованием заемных источников бывает более выгодно? Рассмотрим сначала с бухгалтерской точки зрения, не принимая во внимание инвестирование. Если компания использует только собственные источники средств, валовый доход складывается из выручки, уменьшенной на себестоимость материалов, работ или услуг, которые полностью оплачены

Если компания использует только собственные источники средств, валовый доход складывается из выручки, уменьшенной на себестоимость материалов, работ или услуг, которые полностью оплачены.

Если же в обороте участвуют еще и заемные средства, т.е. та же выручка и себестоимость, но не оплаченных или частично оплаченных ресурсов, а срок оплаты еще не наступил, то и прибыль будет больше. А рассчитаться с кредиторами можно после дивидендных выплат.

Итак, теория Модильяни-Миллера будет справедлива при выполнении определенных условий, а именно:

• займы увеличивают стоимость компании;
• у каждого предприятия существует своя оптимальная структура источников средств.

Поскольку данная теория справедлива лишь при выполнении определенных условий, она не могла быть принята как модель, подходящая для всех компаний.

В 1963 году учеными была опубликована их вторая совместная работа, получившая название «Теория структуры капитала Модильяни и Миллера». В этой работе была использована та же гипотеза, но с поправкой на налогообложение.

Как мы знаем, дивиденды выплачиваются из чистой прибыли, т.е. из прибыли, оставшейся после ее налогообложения. Все вышеперечисленные утверждения справедливы для компаний с нулевым налогообложением.

Если же принять во внимание налоги корпораций, а точнее, отсутствие экономии на налоговых выплатах, то выходит, что постоянное увеличение доли заемных средств ведет к снижению рыночной стоимости компании. Это происходит по причине увеличения рисков

Известно, что большой долг порождает высокий риск.

Но не само по себе увеличение рисков негативно влияет на рыночную стоимость компании и ее акций. Наоборот, доход инвестора при определенной степени риска будет выше. А вот поддерживать структуру источников финансирования, обеспечивающую этот самый риск, становится дороже.

Таким образом, получаем третье условие, обеспечивающее справедливость теории Модильяни-Миллера: доля долговых обязательств в структуре источников финансирования не должна превышать определенную величину.

Алгоритм Миллера — Рабина

Реализация

Алгоритм Миллера — Рабина параметризуется количеством раундов r. Рекомендуется брать r порядка величины log2⁡(n){\displaystyle \log _{2}(n)}, где n — проверяемое число.

Для данного n находятся такие целое число s и целое нечётное число t, что n−1=2st{\displaystyle n-1=2^{s}t}. Выбирается случайное число a, 1 < a < n. Если a не является свидетелем простоты числа n, то выдаётся ответ «n — составное», и алгоритм завершается. Иначе, выбирается новое случайное число a и процедура проверки повторяется. После нахождения r свидетелей простоты, выдаётся ответ «n — вероятно простое», и алгоритм завершается.

Алгоритм может быть записан на псевдокоде следующим образом:

 Ввод: n > 2, нечётное натуральное число, которое необходимо проверить на простоту;
       k — количество раундов.
Вывод: составное, означает, что n является составным числом;
       вероятно простое, означает, что n с высокой вероятностью является простым числом.
Представить n − 1 в виде 2s·t, где t нечётно, можно сделать последовательным делением n - 1 на 2.
цикл А: повторить k раз:
   Выбрать случайное целое число a в отрезке [2, n − 2]
   x ← at mod n, вычисляется с помощью алгоритма возведения в степень по модулю
   если x = 1 или x = n − 1, то перейти на следующую итерацию цикла А
   цикл B: повторить s − 1 раз
      x ← x2 mod n
      если x = 1, то вернуть составное
      если x = n − 1, то перейти на следующую итерацию цикла A
   вернуть составное
вернуть вероятно простое

Из теоремы Рабина следует, что если k случайно выбранных чисел оказались свидетелями простоты числа n, то вероятность того, что n составное, не превосходит 4−k{\displaystyle 4^{-k}}.

Также для больших значений n вероятность объявления составного числа вероятно простым существенно меньше чем 4−k. Дамгард, Лэндрок и Померандс вычислили некоторые точные границы границы ошибок и предложили метод выбора значения k для получения нужной границы ошибки. Такие границы могут, например, использоваться для генерации вероятно простых чисел. Однако, они не должны использоваться для проверки простых чисел неизвестного происхождения, поскольку в криптографических системах взломщик может попытаться подставить псевдопростое число, в той ситуации когда требуется простое число. В таких случаях можно положиться только на ошибку 4−k.

Сложность работы

Считая, что время умножения логарифмическое, используя , сложность работы алгоритма O(klog3⁡n){\displaystyle O(k\log ^{3}n)}, где k{\displaystyle k} — количество раундов. Таким образом, время работы алгоритма полиномиально.

Однако, используя БПФ, возможно сократить время работы алгоритма до O(klog2⁡(n)log⁡(log⁡(n))log⁡(log⁡(log⁡(n))))=O(klog2⁡(n)){\displaystyle O(k\log ^{2}(n)\log(\log(n))\log(\log(\log(n))))=O(k\log ^{2}(n))}. В таком случае, если брать k=log2⁡(n){\displaystyle k=\log _{2}(n)}, где n — проверяемое число, то сложность работы алгоритма равна O(log3⁡n){\displaystyle O(\log ^{3}n)}.