Значение слова «приближенный»

Содержание:

Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов
Основные направления
В словаре Д.Н. Ушакова
Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов
Особенности представления чисел в компьютере
В словаре Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализня
Справочная информация
Погрешности вычислений
Литература
История
Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр
Приложение 1.3 Графическое представление результатов опыта
Слайды и текст этой презентации
Sin 0.5
Программное обеспечение
4.4. Таблица производных простейших элементарных функций
Значащие цифры
В словаре Д.Н. Ушакова
Бизнес и финансы
Правила вычислений с приближенными числами
Бизнес и финансы
Бизнес и финансы
Примечания

Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов

Класс
точности – обобщенная характеристика,
используемая для оценки предельных
значений основной и дополнительной
погрешностей.

Основной
называют погрешность прибора, присущую
ему в нормальных условиях эксплуатации.

Условия
эксплуатации определяются значениями
влияющих на показания приборов величин,
не являющихся для данного прибора
информативными. К влияющим величинам
относят температуру среды, в которой
выполняются измерения, положение шкалы
прибора, частоту измеряемой величины
(не для частотомеров), напряженность
внешнего магнитного (или электрического)
поля, напряжение питания электронных
и цифровых приборов и др.

В
технической документации прибора
указывают нормальный и рабочий диапазоны
значений влияющих величин. Использование
прибора при значении влияющей величины
вне пределов рабочего диапазона не
допускается.

Класс
точности прибора устанавливают по
форме:

предела
абсолютной погрешности
Δ_пр
= ± а или Δ_пр
= ± (а + b
• A);
предела
относительной погрешности
δ_пр
= ± p
или δ_пр
= ± [c
+ d((A_max/A)-1)];
предела
приведенной погрешности
γ_пр
= ± k

Числа
a,
b,
p,
c,
d,
k
выбирают из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6•10n,
где n
= 1, 0, -1, -2 и т.д.

А
– показания прибора;

А_max
– верхний предел используемого диапазона
измерений прибора.

Приведенная
погрешность

где
А_н
– нормирующее значение, условно принятое
для данного прибора, зависящее от формы
шкалы.

Определение
А_н
для наиболее часто встречающихся шкал
приведены ниже:

а)
односторонняя шкала б) шкала с нулем
внутри

А_н
= А_max
A_н
= |A₁|
+ A₂

в)
шкала без нуля г) существенно
неравномерная шкала
(для омметров, фазометров)

А_н
= А₂
– А₁А_н
= L

Правила
и примеры обозначения классов точности
приведены в таблице 3.1.

Таблица
3.1

Формула
для предельной основной погрешности

Обозначение
класса точности на приборе

общий
вид

пример

Δ
= ± а

Δ
= ± (а
+ b • A)

±
а, ед. величины А

±
(а + b
• A),
ед. величины А

Римскими
или латинскими буквами

δ
= (100•Δ)/A
=
± p

δ
= [c+d(A_max/A-1)]

±
p,
%

±[c+d(A_max/A-1)],
%

c/d

1,5

1,0/0,5

γ
= (100•Δ)/A_н
= ± k

если
А_н
= L_шк,
то

γ
= (100•Δ´)/L_шк
=±
k

±
k,
%

1,5

Пределы
допускаемых дополнительных погрешностей
устанавливают в виде: а) постоянного
значения для рабочего диапазона влияющей
величины;

б)
отношения предела допускаемой
дополнительной погрешности, соответствующего
регламентированному интервалу влияющей
величины, к этому интервалу;

в)
предельной функции влияния и др.

Основные направления

Фото шпаргалки

В вычислительной математике выделяют следующие направления: анализ математических моделей, разработка методов и алгоритмов решения стандартных математических задач, автоматизация программирования.

Анализ выбранных математических моделей для поставленной задачи начинается с анализа и обработки входной информации, что очень важно для более точных входных данных. Для такой обработки зачастую применяются методы математической статистики

Следующим шагом является численное решение математических задач и анализ результатов вычислений. Степень достоверности результатов анализа должна соответствовать точности входных данных. Появление более точных входных данных может потребовать усовершенствования построенной модели или даже её замены.

Методы и алгоритмы решения типовых математических задач с применением вычислительной техники носят название численных методов. К типовым задачам относят:

Алгебра: решение систем линейных уравнений, обращение матриц, поиск собственных значений и векторов матриц (ограниченная и полная проблема собственных значений), поиск сингулярных значений и векторов матриц, решение нелинейных алгебраических уравнений, решение систем нелинейных алгебраических уравнений;
Дифференциальные уравнения: дифференцирование и интегрирование функций одного или нескольких переменных, решение обыкновенных дифференциальных уравнений, решение уравнений с частными производными, решение систем дифференциальных уравнений, решение интегральных уравнений;
Оптимизация: изучение минимальных и максимальных значений функционалов на множествах;
Исследование операций и теория игр: минимаксные задачи (в частности, для многошаговых игр);
математическое программирование: задачи аппроксимации, задачи интерполяции, задачи экстраполяции.

Проводится изучение и сравнительный анализ методов решения типовых задач. Важным элементом анализа является поиск экономичных моделей, позволяющих получить результат, используя наименьшее число операций, оптимизация методов решения. Для задач больших размеров особенно важным является исследование устойчивости методов и алгоритмов, в том числе к ошибкам округления. Примерами неустойчивых задач является обратные задачи (в частности, поиск обратной матрицы), а также автоматизация обработки результатов экспериментов.

Постоянно увеличивающийся круг типовых задач и рост числа пользователей определили повышение требований к автоматизации. В условиях, когда знание конкретных численных методов является несущественным для пользователя, возрастают требования к стандартным программам решения. С их использованием не требуется программирование методов решения, а достаточно задать исходную информацию.

В словаре Д.Н. Ушакова

Значение слова «интрига»

ПРИБЛИ́ЖЕННЫЙ, приближенная, приближенное; приближен, приближена, приближено (·книж. ). прич. страд. прош. вр. от приблизить» title=’что такое приблизить, значение слова приблизить в словаре Ушакова’>приблизить и от приближать» title=’что такое приближать, значение слова приближать в словаре Ушакова’>приближать. «Беда стране, где раб и льстец одни приближены к престолу.» Пушкин.II. ПРИБЛИЖЁННЫЙ, приближённая, приближённое (·книж. ).1. Пользующийся чьим-нибудь преимущественным доверием, состоящий в числе близких лиц, окружающих кого-нибудь (·устар. ).| То же, в знач. сущ. приближённый, приближённого, ·муж., приближённая, приближённой, ·жен. (·устар. ). Царь со своими приближенными.2. Не совсем точный, но приблизительно совпадающий с истинным, близкий к истинному (мат.). Приближенное значение какой-нибудь величины (разнящееся от истинного на его величины или менее того). Приближенное вычисление. Приближённый результат.

Класс точности и его использование для оценки инструментальной погрешности приборов

Значение слова «понятие»

Основной
называют погрешность прибора, присущую
ему в нормальных условиях эксплуатации.

Класс
точности прибора устанавливают по
форме:

предела
абсолютной погрешности
Δ_пр
= ± а или Δ_пр
= ± (а + b
• A);
предела
относительной погрешности
δ_пр
= ± p
или δ_пр
= ± [c
+ d((A_max/A)-1)];
предела
приведенной погрешности
γ_пр
= ± k

Числа
a,
b,
p,
c,
d,
k
выбирают из ряда 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 5; 6•10n,
где n
= 1, 0, -1, -2 и т.д.

А
– показания прибора;

А_max
– верхний предел используемого диапазона
измерений прибора.

Приведенная
погрешность

где
А_н
– нормирующее значение, условно принятое
для данного прибора, зависящее от формы
шкалы.

Определение
А_н
для наиболее часто встречающихся шкал
приведены ниже:

а)
односторонняя шкала б) шкала с нулем
внутри

А_н
= А_max
A_н
= |A₁|
+ A₂

в)
шкала без нуля г) существенно
неравномерная шкала
(для омметров, фазометров)

А_н
= А₂
– А₁А_н
= L

Правила
и примеры обозначения классов точности
приведены в таблице 3.1.

Таблица
3.1

Формула
для предельной основной погрешности

Обозначение
класса точности на приборе

общий
вид

пример

Δ
= ± а

Δ
= ± (а
+ b • A)

±
а, ед. величины А

±
(а + b
• A),
ед. величины А

Римскими
или латинскими буквами

δ
= (100•Δ)/A
=
± p

δ
= [c+d(A_max/A-1)]

±
p,
%

±[c+d(A_max/A-1)],
%

c/d

1,5

1,0/0,5

γ
= (100•Δ)/A_н
= ± k

если
А_н
= L_шк,
то

γ
= (100•Δ´)/L_шк
=±
k

±
k,
%

1,5

в)
предельной функции влияния и др.

Особенности представления чисел в компьютере

Основное отличие вычислительной математики заключается в том, что при решении вычислительных задач человек оперирует машинными числами, которые являются дискретной проекцией вещественных чисел на конкретную архитектуру компьютера. Так, например, если взять машинное число длиной в 8 байт (64 бита), то в нём можно запомнить только 264 разных чисел, поэтому важную роль в вычислительной математике играют оценки точности алгоритмов и их устойчивость к представлениям машинных чисел в компьютере. Именно поэтому, например, для решения линейной системы алгебраических уравнений очень редко используется вычисление обратной матрицы, так как этот метод может привести к ошибочному решению в случае с сингулярной матрицей, а очень распространённый в линейной алгебре метод, основанный на вычислении определителя матрицы и её дополнения, требует гораздо больше арифметических операций, чем любой устойчивый метод решения линейной системы уравнений.

В словаре Полная акцентуированная парадигма по А. А. Зализня

1. приближённый,приближённая,приближённое,приближённые,приближённого,приближённой,приближённого,приближённых,приближённому,приближённой,приближённому,приближённым,приближённый,приближённую,приближённое,приближённые,приближённого,приближённую,приближённое,приближённых,приближённым,приближённой,приближённою,приближённым,приближёнными,приближённом,приближённой,приближённом,приближённых,приближён,приближённа,приближённо,приближённы,приближённее,поприближённее,приближённей,поприближённей2. приближённый,приближённые,приближённого,приближённых,приближённому,приближённым,приближённого,приближённых,приближённым,приближёнными,приближённом,приближённых

Справочная информация

ДокументыЗаконыИзвещенияУтверждения документовДоговораЗапросы предложенийТехнические заданияПланы развитияДокументоведениеАналитикаМероприятияКонкурсыИтогиАдминистрации городовПриказыКонтрактыВыполнение работПротоколы рассмотрения заявокАукционыПроектыПротоколыБюджетные организацииМуниципалитетыРайоныОбразованияПрограммыОтчетыпо упоминаниямДокументная базаЦенные бумагиПоложенияФинансовые документыПостановленияРубрикатор по темамФинансыгорода Российской Федерациирегионыпо точным датамРегламентыТерминыНаучная терминологияФинансоваяЭкономическаяВремяДаты2015 год2016 годДокументы в финансовой сферев инвестиционной

Погрешности вычислений

Пусть нужно вычислить площадь сечения цилиндра, диаметр которого D — 1,2 см известен с точностью 0,1 см. По известной формуле площади круга получаем (например, на калькуляторе):

Рис. 9.2

Значит ли это, что мы нашли площадь с такой точностью? Конечно, нет. Вспомним, что диаметр был измерен с точностью 0,1 см, т. е. он мог быть в самом деле равен как 1,1 см, так и 1,3 см. В этих «крайних» случаях получаем площадь

Таким образом, следует записать ответ в виде S ≈ 1,1 ± 0,2 см2.

Относительную погрешность результата можно оценить как

Заметим, что мы не учитывали погрешность, связанную с неточностью задания иррационального числа π.

Все практические расчёты выполняются неточно. Погрешность результата вычислений определяется в первую очередь погрешностью исходных данных.

Теперь вернёмся к расчётам с помощью компьютера. Как вы знаете из главы 4, данные записываются в память в двоичном коде ограниченной длины, при этом практически все вещественные числа хранятся неточно. При выполнении вычислений погрешности накапливаются, поэтому при сложных расчётах может получиться неверный ответ. Например, с точки зрения точности очень плохо, если ответ — это небольшое (по модулю) число, которое вычисляется как разность двух неточных больших чисел (вспомните пример с кружкой!).

Погрешность резко возрастает при делении на неточное малое по модулю число. Предположим, что нужно вычислить значение

причём а, b, с и d — вещественные числа, которые получены в результате вычислений с погрешностью 0,001: a = 1000 ± 0,001; b = 0,002 ± 0,001; с = 1000 ± 0,001; d = 0,003 ± 0,001.

Легко проверить, что вычисленное значение х может находиться в интервале от -166 667 до 750 001, т. е. относительная погрешность превышает 300%! Такой метод расчётов вычислительно неустойчив: малые погрешности в исходных данных могут привести к огромным погрешностям в решении.

Подводя итог, можно выделить несколько источников погрешностей при компьютерных вычислениях:• неточность исходных данных;
• неточность записи вещественных чисел в двоичном коде конечной длины;
• погрешности приближённого вычисления некоторых стандартных функций (например, sin(x) или cos(x));
• накопление погрешностей при арифметических действиях с неточными данными;
• собственная погрешность используемого метода (для приближённых методов, рассматриваемых в следующем параграфе).

Проблемы, возникающие при вычислениях с конечной точностью, изучает вычислительная математика, задача которой — разработать вычислительно устойчивые методы решения задач, при которых небольшие погрешности исходных данных мало влияют на результат. Иногда этого удаётся добиться простым изменением порядка действий или преобразованием формул.

Следующая страница Вопросы и задания

Cкачать материалы урока

Литература

Вычислительная математика / А. Н. Тихонов // : / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — Новосибирск: Наука, 1973.
Бабенко К. И. Основы численного анализа. — М.: Наука, 1986.
Бахвалов Н. С. Численные методы. 3-е изд. — М, 2003.
Воеводин В. В. Математические основы параллельных вычислений. — М.: Изд-во МГУ, 1991. — 345 с.
Воеводин В. В., Воеводин Вл. В. Параллельные вычисления. — СПб.: БХВ-Петербург, 2002. — 608 с.
Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. — 2-е изд. — М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1963.
Дьяченко В. Ф. Основные понятия вычислительной математики. — М.: Наука, 1972.
Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближённые методы высшего анализа. — М.—Л.: ГИИТЛ, 1949.

История

Вычислительная математика возникла довольно давно. Ещё в Древней Месопотамии были разработаны методы получения квадратного корня. В эпоху научной революции вычислительная математика развивалась быстрыми темпами из практических применений параллельно с математическим анализом. Помимо этого, подобные вычисления широко применялись в небесной механике для предсказания траектории движения небесных тел. Это привело к появлению таких важнейших составляющих физики, как теория о гелиоцентрической системе устройства мира, законы Кеплера и законы Ньютона. XVII и XVIII век стали временем разработки значительного количества численных методов и алгоритмов.

Применение большого количества инженерных вычислений в XIX и XX веках потребовало создания соответствующих приборов. Одним из таких приборов стала логарифмическая линейка, также появились таблицы значений функций с точностью до 16 знаков после запятой, помогавшие проводить вычисления. Также существовали механические устройства для выполнения математических операций, называвшиеся арифмометрами. В первой половине XX века для решения дифференциальных уравнений стали активно использоваться аналоговые ЭВМ.

Изобретение компьютера в середине XX века означало создание универсального инструмента для математических вычислений. Совместно с мейнфреймами в распоряжении инженеров и учёных для выполнения ручных операций были только калькуляторы, которые активно использовались вплоть до начала массового производства персональных компьютеров.

Приближенные вычисления с помощью правил подсчета цифр

I. При сложении и
вычитании приближенных чисел в результате
следует сохранять столько десятичных
знаков, сколько их в приближенном, данном
с наименьшим числом десятичных знаков.

Пример.
Найти сумму приближенных чисел 127,42;
67,3; 0,12 и 3,03.

Решение:
127,42 + 67,3 + 0,12 + 3,03 = 197,87
197,9

Пример.
Найти разность чисел: 418,7 — 39,832 = 378,868
378,9

II.
При умножении и делении приближенных
чисел в произведении надо сохранить
столько значащих цифр, сколько их есть
в данном числе с наименьшим количеством
значащих цифр.

Пример.
Умножить приближенные числа 3,4 и 12,32.

Решение:
3,4 х 12,32 = 41,888
42

Задача.
Площадь прямоугольной грядки приближенно
равна 7,6 кв. м, ширина -2,38 м. Чему равна
ее длина?

Решение.
Длина грядки равна частному от деления
7,6 на 2,38.

Действие
деления выполняют так: 7,60 : 2,38 = 3,19
3,2(м)

Последнюю
цифру частного 9 можно было и не писать,
а, получив в частном две значащие цифры,
заметив, что остаток больший половины
делителя, округлить частное с избытком.

III.
При возведении приближенных чисел в
квадрат, и куб в результате сохраняется
столько значащих цифр, сколько их в
основании.

Примеры.

2,32 =
5,29 ≈ 5,3;

0,83 =
0,512 ≈ 0,5.

IV.
В промежуточных результатах следует
брать одной цифрой больше, чем рекомендуют
предыдущие правила.

V.
Если некоторые данные имеют больше
десятичных знаков (при действиях первой
ступени) или больше значащих цифр (при
действиях II
и III
ступеней), чем другие, то их предварительно
следует округлить, сохраняя лишь одну
запасную цифру.

VI.
Если данные можно брать с произвольной
точностью, то для получения результата
с k цифрами
данные следует брать с таким числом
цифр, которое дает согласно правилам I
— IV k +
1 цифру в результате.

3.
Применение правил.Применение
вычислений способом подсчета цифр
рассмотрим на примере.

Пример.
Найти значение ,
если а≈
9,31, b ≈
3,1, с≈
2,33.

Решение.

а— b =
9,31 — 3,1 = 6,21;

(а— b ) с=
6,21 · 2,33 ≈ 14,5;

а+ b =
9,31 + 3,1 = 12,4;

х=
14,5 : 12,4 ≈ 1,2.

Ответ. х≈
1,2.

Примечание.
Сформулированные выше правила подсчета
цифр имеют вероятностный смысл: они
наиболее вероятны, хотя существуют
примеры, не удовлетворяющие этим
правилам. Поэтому вычисления способом
подсчета цифр — самый грубый способ
оценки погрешности результатов действий.
Однако он очень прост и удобен, а точность
таких вычислений вполне достаточна для
большинства технических расчетов.
Поэтому этот способ широко распространен
в вычислительной практике.

В более
ответственных вычислениях пользуются
способом границ или способом граничных
погрешностей.

Приложение 1.3 Графическое представление результатов опыта

Часто
результаты измерений физических величин,
полученных в процессе выполнения
лабораторной работы или при других
исследованиях, целесообразно представлять
в виде графиков. График является удобным
и наглядным способом представления
опытных данных: позволяет легко определить
скорости изменения величия, обнаружить
наличие максимумов, точек перегиба,
установить функциональную зависимость
между исследуемыми величинами и т.д.

Как
правило, результаты опыта при изучении
какой-либо зависимости приводят в виде
таблица, где каждому значении одного
параметра соответствует определенное
значение другого параметра.

Построение
графика состоит из следующих основных
моментов: 1) выбор типа бумаги; 2) выбор
масштабов по осям координат; 3) написание
обозначений на осях; 4) нанесение данных
на график; 5) проведение кривой через
нанесение точки; 6)составление заголовка
графика.

Неудачный выбор
масштабов по осям координат может
сделать график непригодным, поэтому
при выборе масштабов следует
руководствоваться следующими правилами.
Значения независимой переменной
откладывают вдоль оси абсцисс, функции
— вдоль оси ординат. Масштабы должны
быть выбраны так, чтобы цена наименьшего
деления масштабной сетки была сравнима
с величиной погрешности измерения.

Если график или
отдельные его участки представляют
собой прямую линию, ее наклон к оси
абсцисс должен быть близким к 45°.
Это общее правило, в основе которого
лежит удобство последующих операций с
графиком, а также стремление к наглядности.
Координаты любой точки должны определяться
быстро и легко.

Нужно отметить,
что не обязательно, чтобы точка пересечения
оси абсцисс и оси ординат имела координаты
(0,0). Масштаб нужно нанести так, чтобы
площадь графика использовалась
рационально. Для этого необходимо
начинать отсчет с наименьших значением
переменных или несколько меньших их
величин. Для удобства на каждой
координатной оси целесообразно указывать
не символическое, а полное название
переменной и единиц ее измерения.
Например: Давление, Н/м2.

Полученные
экспериментальные результаты наносят
на график в виде
жирных точек, крестиков, кружочков.
Различные группы данных на одном и том
же графике должны быть помечены разными
знаками. Кривую следует проводить
плавно, не через отмеченные точки, а
близко к ней, так, чтобы точки находились
по обе стороны от кривой примерно на
равных расстояниях. Для вычерчивания
намеченных кривых желательно использовать
лекала.

Каждый график
должен иметь название, отражающее его
содержание, а иногда и необходимые
пояснения.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Текст слайда:

Практические приемы приближенных вычислений.

А-8 урок 1

Слайд 2

Текст слайда:

Стандартный вид числа.

Слайд 3

Текст слайда:

Если с – натуральное число или положительная конечная десятичная дробь, то представление этого числа в видес = а∙10nгде 1≤а˂10, k-целое число, называют записью числа в стандартном виде.а- мантисса числаk-порядок числа с

Стандартный вид числа.

Слайд 4

Текст слайда:

520=5,2∙1020,0054=5,4∙10-323000=2,3∙104123456789=1,23456789∙108

Стандартный вид числа.

Слайд 5

Текст слайда:

Назовите правильную запись числа в стандартном виде:

0,00000123 =

Слайд 6

Текст слайда:

Назовите правильную запись числа в стандартном виде:

0,000512 =

Слайд 7

Текст слайда:

Назовите правильную запись числа в стандартном виде:

830000000 =

Слайд 8

Текст слайда:

Назовите правильную запись числа в стандартном виде:

456000 =

Слайд 9

Текст слайда:

Назовите число, записанное в стандартном виде:

Правильный ответ

Слайд 10

Текст слайда:

Верные и сомнительные цифры

Цифру какого-либо разряда в записи приближенного значения называют верной, если граница абсолютной погрешности не превосходит единицы этого разряда. В противном случае цифру называют сомнительной.

Если граница абсолютной погрешности не превосходит половины единицы разряда, следующего за разрядомрассматриваемой цифры, то эту цифру в записи приближенного значения числа называют строго верной.

Слайд 11

Текст слайда:

№ 239(2,4,6)

№ 240 (2,4,6)

Слайд 12

Текст слайда:

Сложение и вычитание приближенных значений .

Теорема: Границы абсолютных погрешностей суммы и разности приближенных значений равны сумме границ абсолютных погрешностей каждого из приближений.

х = а + h1

y = b + h2

х + y = (а + b) + (h1 + h2)

x — y = (а — b) + (h1 + h2)

Слайд 13

Текст слайда:

При сложении и вычитании приближенных значений, в записи которых все цифры верные, в сумме и в разности оставляют столько десятичных знаков, сколько их имеет приближенное значение с наименьшим числом десятичных знаков.

Слайд 14

Текст слайда:

№ 241(2,4,6)

Слайд 15

Текст слайда:

Умножение и деление приближенных значений.

Значащими цифрами называются все верные цифры в десятичной записи приближенного значения, кроме нулей, стоящих перед первой отличной от нуля цифрой.

0,025

1230

0,00350

Слайд 16

Текст слайда:

Умножение и деление приближенных значений.

При умножении и делении приближенных значений в произведении и частном оставляют столько цифр ( не считая нулей, отличной от нуля цифрой) , сколько значащих цифр имеет приближенное значение с меньшим числом значащих цифр.

Sin 0.5

Программное обеспечение

Численное моделирование аварии автомобиля

Алгоритмы решения множества стандартных задач вычислительной математики реализованы на различных языках программирования. Чаще всего для этих целей используются языки Julia, Фортран и C, библиотеки для которых можно найти в репозитории Netlib (англ.)русск.. Кроме того, большую популярность имеют коммерческие библиотеки IMSL (англ.)русск. и NAG (англ.)русск., а также свободная GNU Scientific Library.

Программные пакеты MATLAB, Mathematica, Maple, S-PLUS (англ.)русск., LabVIEW и IDL (англ.)русск., а также их свободные альтернативы FreeMat, Scilab, GNU Octave (похожа на Matlab), IT++ (англ.)русск. (библиотека C++), R (похож на S-PLUS) имеет различные численные методы, а также средства для визуализации и отображения результатов.

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Mathematica, имеют возможность задавать необходимую арифметическую точность, что позволяет получить результаты более высокой точности. Также большинство электронных таблиц могут быть использованы для решения простых задач вычислительной математики.

4.4. Таблица производных простейших элементарных функций

Производные всех
простейших элементарно функций можно
свести в следующую таблицу.

1. (С)’
= 0, где С —
постоянное число.

2. (xα)‘
= αxα-1;
в частности,
= —,
()’
=.

3.
(log_ax)‘
=
log_ae;
в частности,
(ln x)’
=
.

4. (аx)‘
= axln
а;
в частности, (еx)’
= еx.

5.(sinx)‘
=cosx.

6.
(cos x)’=
—sin
x.

7.(tg x)‘
=
.

8.
(ctg x)‘=
—
.

9.
(arcsin х)’
=
.

10.
(arccos x)‘
= —

11. (arctg
x)‘
=
.

12.
(arcctg x)‘
= —
.

Формулы, приведенные
в таблице, вместе с правилами
дифференцирования (теорема 4.2)
являются основными формулами
дифференциального исчисления. Отсюда
можно сделать важный вывод: поскольку
производная любой элементарной функции
есть также элементарная функция, то
операция дифференцирования не
выводит из класса элементарных функций.

Значащие цифры

Если абсолютная
погрешность величины a не превышает одной
единицы разряда последней цифры числа a, то
говорят, что у числа все знаки верные.

Приближенные числа следует
записывать, сохраняя только верные знаки. Если,
например, абсолютная погрешность числа 52400 равна
100, то это число должно быть записано, например, в
виде 524 .102 или 0,524 .105.
Оценить погрешность приближенного числа можно,
указав, сколько верных значащих цифр оно
содержит. При подсчете значащих цифр не
считаются нули с левой стороны числа.

Примеры:

	1 куб.фут = 0.0283 м3 — три верных значащих цифры
	1 дюйм = 2,5400 v пять верных значащих цифр.

Если число aимеет nверных
значащих цифр, то его относительная погрешность d_a

T 1/(z*dn-1),
где z — первая значащая цифра числa a; d — основание
системы счисления.

У числаa
с относительной погрешностьюd_a верныn значащих цифр, где n — наибольшее целое число,
удовлетворяющее неравенству (1+Z)d_a T dl-n.

Пример:

Если число a = 47,542
получено в результате действий над
приближенными числами и известно, что d_a = 0,1%, то a
имеет 3 верных знака, так как (4+1)0,001 T 10v2.

В словаре Д.Н. Ушакова

Бизнес и финансы

БанкиБогатство и благосостояниеКоррупция(Преступность)МаркетингМенеджментИнвестицииЦенные бумагиУправлениеОткрытые акционерные обществаПроектыДокументыЦенные бумаги — контрольЦенные бумаги — оценкиОблигацииДолгиВалютаНедвижимость(Аренда)ПрофессииРаботаТорговляУслугиФинансыСтрахованиеБюджетФинансовые услугиКредитыКомпанииГосударственные предприятияЭкономикаМакроэкономикаМикроэкономикаНалогиАудитМеталлургияНефтьСельское хозяйствоЭнергетикаАрхитектураИнтерьерПолы и перекрытияПроцесс строительстваСтроительные материалыТеплоизоляцияЭкстерьерОрганизация и управление производством

Правила вычислений с приближенными числами

Результат
суммирования (вычитания) приближенных
чисел будет иметь столько верных знаков,
сколько их имеет слагаемое с наименьшим
числом верных знаков.
При
умножении (делении) в полученном
результате будет столько значащих
верных цифр, сколько их в исходном числе
с наименьшим количеством верных знаков.
При
возведении в степень (извлечении корня)
любой степени результат имеет столько
же верных знаков, сколько их в основании.
Число
и мантисса его логарифма содержит
одинаковое количество верных знаков.
Правило
запасной цифры.
Чтобы по возможности уменьшить ошибки
округления, рекомендуется в тех исходных
данных, которые это позволяют, а также
и в результате, если он будет участвовать
в дальнейших вычислениях, сохранить
по одной лишней цифре сверх того, что
определено правилами 1-4.

Бизнес и финансы

Примечания

↑ Вычислительная математика / А. Н. Тихонов // : / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
Муха В. С. Вычислительные методы и компьютерная алгебра: учеб.-метод. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — Минск: БГУИР, 2010.- 148 с.: ил, ISBN 978-985-488-522-3, УДК 519.6 (075.8), ББК 22.19я73, М92
В рамках данной статьи коэффициенты системы, свободные члены и неизвестные считаются действительными числами, хотя они могут быть комплексными или даже сложными математическими объектами с условием, что для них определены операции умножения и сложения.
Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра: Учебник для вузов. — 6-е изд., стер. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 280 с.
Вержбицкий В. М. Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2009. — С. 80—84. — 840 с. — ISBN 9785060061239.
Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю. Д. Максимова. — Спб.: «Иван Фёдоров», 2001. — С. 400. — 592 с. — ISBN 5-81940-050-X.