Типы управленческих решений

Учет фактора времени при определении эффективных решений.

Уровень
информационного обеспечения принятия
решения зависит от

ряда
факторов. Возможны ситуации, когда под
воздействием определенных факторов
представление ЛПР (лицо принимающее
решение) о недостатке информации
изменяется, и имеющаяся информация
расценивается как адекватная и достаточная
для решения задачи. Менеджер может
продолжить сбор отдельных частей
информации о решении. Одним из умений
ЛПР является точное определение того,
какие области решения требуют
дополнительной информации, а для каких
дальнейший сбор информации не имеет
никакого смысла либо нецелесообразен.

Время,
требуемое для сбора
информации,
будет определяться контекстом решения.
Часто оно определяется промежутком
между тем, когда

становится
определенно ясно, что решение должно
быть принято, и тем, когда необходимо
его принять. Например, крайний
срок для принятия решения о заключении
контракта совершенно точно определен.
Если менеджеры не примут решение до
этой даты, то их возможность выбора не-

медленно
исчезает, а решение принимается по
умолчанию.

В
других ситуациях крайний срок принятия
решения не так точно определен. Например,
филиалу фирмы по розничным продажам
необходимо

приобрести
новое место для торговли.
В настоящее время эта фирма может выбрать
одно из нескольких возможных мест. Если
в течение определенного периода времени
конкретного решения не будет принято,
то некоторые из этих мест могут быть
проданы другим покупателям. Эти места
станут недоступными
для данной фирмы.
В то же время могут появиться новые
доступные для
данной фирмы места,
которых не
было в начале
процесса
принятия решения.
Время,
которое имеет фирма для принятия решения,
таким образом, не
является в
данной ситуации фиксированной
величиной.
Но время, которое тратится на принятие
решения, может повлиять на доступные
альтернативы и, следовательно, на само
решение.

Ограничение
времени для принятия решения, а значит,
и доступного

времени,
может само по себе выступать как решение.
Например, деятельность менеджера отдела
закупок на товарном рынке направлена
на обеспечение своей компании сырьем,
причем как можно более дешевым. Уровень
цен на товарном рынке подвержен
колебаниям. Если менеджер постоянно
делает закупки сырья по низким ценам,
то он обеспечивает свою компанию сырьем
с меньшими издержками, чем сотрудник,
менее квалифицированный в принятии
такого рода решений. В этом случае
менеджер по закупкам обеспечивает
прямую, четкую обратную связь использования
финансовых ресурсов с правильно принятым
решением.

Многие
решения включают в себя элемент времени.
Например,
менеджер хочет ввести новую схему оплаты
труда. Он должен определить не

только
конкретную схему оплаты, но также и
время ее введения. Компания, желающая
расширить свои производственные
мощности, вынуждена принять решение
относительно продвижения некоторых
сотрудников по службе и времени объявления
о данном решении. Таким образом, во
многих решениях время для его принятия
и само решение тесно взаимосвязаны
между собой.

Доступное
время также
является стимулирующим фактором принятия

конкретного
решения. В принятии решений, на которые
отводится небольшое количество времени,
давление на ЛПР будет возрастать до тех
пор, пока решение не будет принято.
Решения, на принятие которых не оказывают
давление временные рамки, может быть
принято в зависимости

от
желания ЛПР. В таком случае ЛПР в
определенный момент решает, что

целесообразно
принять это решение именно сейчас. Эти
два противоположных конца спектра –
принудительное решение и решение
свободное – Г. Минтцберг охарактеризовал
как кризис и возможности решения.
Решения, располагающиеся между этими
двумя противоположными концами спектра,
он рассматривал как проблемы.

Конечно,
один тип решения может перейти в другой.
Процесс принятия

решения
может сдвигаться по континууму из-за
задержки действий менеджеров:
Проигнорированная возможность принять
решение может впоследствии привести к
проблеме или даже кризису. С другой
стороны, менеджер может преобразовать
кризис в проблему, отыскав временное
решение, или же использовать ситуацию
кризиса как возможность для инноваций.

Виды управленческих решений на предприятии

На предприятии существуют следующие виды управленческих решений:

Уравновешенные решения. В организации чаще всего такие решения принимаются ведущими менеджерами, которые основательно подходят к решению проблем и принятию управленческих решений. Такое решение, скорее всего, подкреплено аналитическими, статистическими данными, все гипотезы по решению тщательно проверяются.

Импульсивные решения. Такие решения чаще всего принимаются на предприятии, но они самые ненадежные, этих решений на предприятии слишком много, они не подкреплены никакими данными, не отчетными, не аналитическими, идеи принятия решения возникают спонтанно и безосновательно. Чаще всего авторами таких решений бывают менеджеры среднего и низшего звена руководства.

Инертные решения

Такие решения принимаются в организации с особой осторожностью, они не блещут новаторством или оригинальностью идеи, наоборот, можно даже сказать, что эти решения принимаются «по накатанной», то есть, когда предприятие уже приобрело опыт в том или ином событие, и теперь, также, основываясь на положительных результатах прошлого, предлагает схожее решение для новой проблемы. Рискованные решения

Риск – это зачастую — то действие, без которого организация не может сделать рывок к развитию. Рискованные решения принимаются чаще всего высшим руководством, и они не имеют четкого обоснования, а основаны лишь на внутренней уверенности руководителя в правильности своих действий.

Замечание 1

Надо отметить, что обычно самый успешный бизнес начинается в рискованного решения.

Осторожные решения. Чаще всего подобные решения принимаются менеджерами организации, они очень аккуратно подходят к решению, ищут обоснование, чтобы в случае неудачи было чем подтвердить свои действия. Такие решения мало сопоставимы с такими терминами как: оригинальность, новизна и актуальность.

Таким образом, в деятельности современного предприятия существует множество видов управленческих решений и от того, какое решение примет руководитель зависит в целом судьба всего предприятия.

Судебная лексика

В юридическом тексте можно встретить следующую фразу: «Пересмотр судебного акта в этом случае необходимо инициировать». Что это значит? В общем понимании глагол «инициировать» — положить начало чему-либо, дать толчок к развитию какого-либо процесса. Следовательно, слово это употребляется для определения действия, которое предпринимает физическое лицо, подавая заявление на проведение какой-либо процедуры.

В статьях на юридические темы также встречается употребление этого слова в словосочетаниях, которые стали почти устойчивыми. Например, «процедуру банкротства любой субъект экономических отношений вправе инициировать». Что это значит? Если «перевести» это предложение на разговорный язык, то получится: «Каждый может подать на банкротство». Стало быть, слово «инициировать» – это лексическая единица, которая нечасто встречается в устной речи, потому как ее использование характерно, прежде всего, для официального стиля.

Алгоритм решения дифференциальных уравнений

Дифференциальные уравнения не так сильно отличаются от привычных уравнений, где необходимо найти переменную x, как кажется на первый взгляд. Всё различие лишь в том, что в дифференциальных уравнениях мы ищем не переменную, а функцию у(х), с помощью которой можно обратить уравнение в равенство.

Теорема

Дифференциальное уравнение – это уравнение, содержащее саму функцию (y=y(x)), производные функции или дифференциалы (y′, y″) и независимые переменные (наиболее распространённая – х). Обыкновенным дифференциальным уравнением называют уравнение, в котором содержится неизвестная функция под знаком производной или под знаком дифференциала.

Алгоритм

Чтобы решить ДУ, необходимо найти множество всех функций, которые удовлетворяют данному уравнению. Это множество в большинстве случаев выглядит следующим образом:y=f(x; С), где С – произвольная постоянная.

Проверить решённое ДУ можно, подставив найденную функцию в изначальное уравнение и убедившись, что уравнение обращается в тождество (равенство).

Что такое управленческое решение

Управленческое решение, ввиду широкой разработанности темы, имеет устоявшееся определение, основные положения которого прослеживаются сквозь существующие вариации. 

Управленческое решение — выбор альтернативы, осуществленный лицом, принимающим решение (ЛПР), в рамках его полномочий и компетенции и направленный на достижение определённых целей.

Управленческое решение — волевой и творческий акт, так как связан с преодолением препятствий и сопротивления на пути к реализации принятого решения, а также ведёт к сущностным, качественным характеристикам объекта управления и воздействия.

Управленческое решение как явление характеризуется следующими признаками:

• реалистичные цели;
• достаточный объем времени и ресурсов;
• применимость к конкретным условиям;
• учет возможных рисков;
• отсутствие или минимизация конфликтов по принятии решения;
• контроль за реализацией.

Многими исследователями отмечается цикличность принятия управленческих решений: их реализация неизбежно ведет к возникновению таких ситуаций, когда необходимо принять новое.

Основа организации бизнеса

Решение может быть определено и как организационный акт, и как одна из центральных составляющих процесса управления организацией. Иными словами, управленческое решение — это базис функционирования и деятельности компании.

Управленческие решения на высшем уровне принимаются топ-менеджерами в соответствии с формальными полномочиями (генеральным директором, советом директоров, главным менеджером, председателем правления) и затрагивают:

• целеполагание и выработку стратегии, в том числе в долгосрочной перспективе;
• разработку инновационной, образовательной, маркетинговой, финансовой, кадровой сфер организации;
• инвестиции;
• реструктуризацию деятельности.

Инициативность в психологии

Термины «инициатива» и «инициативность» стали изучать давно множество психологов и философов. Но внимательно исследовался этот термин в работах Ж. Пейо и Т. Рибо.

Ж. Пейо рассматривал качества, которые противопоставлялись инициативности. Он считает, что такими качествами является пассивность и лень. Т. Рибо связывал инициативность с недостатком процесса возбуждения. Он считал, что проявление инициативности связано с тем, что человек не может жить без какого-либо вида деятельности.

Б. М. Кедров, Л. С. Рубинштейн и К. К Платонов впервые рассматривали инициативность как качество личности. По их мнению, инициативность является профессионально значимым качеством. Поэтому она должна быть включена в систему качеств личности, которые приводят к успеху.

Н. С. Новикова, Д. Б. Богоявленская, Т. Г. Егоров, И. Э. Плотиек и М. С. Говоров рассматривали инициативу со стороны мотивационных аспектов. Они считали, что инициативность проявляется стремлением искать новые пути для реализации задач и выходе за рамки поставленных условий. Они связывают инициативность с интересами, принципами и убеждениями личности. Однако, М. С. Говоров комментирует, что инициатива может быть вызвана как мотивами эгоистичного характера, так и благородными целями.

1.Понятие управленческое решение. Классификация управленческих решений.

Управленческое решение— это
результат анализа, прогнозирования,
оптимизации, экономического обоснования
и выбора альтернативы из множества
вариантов достижения конкретной цели
системы менеджмента.

Импульсом управленческого решения
является необходимость ликвидации,
уменьшения актуальности или решения
проблемы, то есть приближение в будущем
действительных параметров объекта
(явления) к желаемым, прогнозным.

Для решения проблемы необходимо
ответить на следующие вопросы:

• Что делать (какие новые потребности
потребителей необходимо удовлетворять,
либо на каком качественном уровне
необходимо удовлетворять старые
потребности)?

• Как делать (по какой технологии)?

• С какими производственными затратами
делать?

• В каком количестве?

• В какие сроки?

• Где (место, производственное помещение,
персонал)?

• Кому поставлять и по какой цене?

• Что это даст инвестору и обществу в
целом?

Термин «управленческое решение»
употребляется в двух основных значениях
— как процесс и как явление. Какпроцесс
УР— это выполнение восьми основных
процедур: -информационная подготовка,
разработка вариантов, согласование
вариантов, выбор одного варианта,
утверждение, реализация, контроль
выполнения УР и информирование инициатора
решения .

УР можно сравнить с дирижером, в ведении
и под контролем которого находятся все
другие решения.

Процесс подготовки и реализации УР
является ответственным, требующим
использования теоретических и методических
разработок отечественных и зарубежных
ученых, а также накопленного и
систематизированного практического
опыта.

УР— это творческое, волевое действие
субъекта управления на основе знания
объективных законов функционирования
управляемой системы и анализа информации
о ее функционировании. Оно состоит в
выборе цели, программы и способов
деятельности коллектива по разрешению
проблемы или в изменении существующей
цели. УР составляет основу процесса
управления. Ряд УР может быть представлен
набором более мелких, каждое из которых
должно внести свой вклад в решение общей
проблемы. В рамках предприятия или
организации руководителю приходится
принимать все типы решений. Поэтому от
инициатора общего УР требуются хорошие
знания и в технологических областях, а
возможно, и в биологических. Например,
главный врач поликлиники обязан принимать
и УР, и решения, связанные с техническим
обеспечением, и решения в медицинской
области на консилиумах, при операциях
и т.д.

Требования к управленческим решениям:

— выполнимость — своевременность —
оптимальность — законность — полномочность
— справедливость — непротиворечивость
— простота — краткость — ясность изложения

Управленческое решение— выбор,
который должен сделать руководитель,
чтобы выполнить обязанности, обусловленные
занимаемой им должностью.

Цель управленческого решения — обеспечить
движение к реализации поставленных
перед организацией задач.

Характеристики управленческих решений:

— временной горизонт — обратимость —
эффект воздействия — периодичность —
соответствие «ценностям»

Виды управленческих решении:

— по степени новизны — запрограммированные,
незапрограммированные

— по подходам к принятию — интуитивные,
основанные на опыте, рациональные

— по масштабам воздействия — общие,
частные

— по времени действия — стратегические,
оперативные

— по прогнозируемым свойствам — с
определенным результатом, с вероятным
исходом

— по количеству критериев — однокритериальные,
многокритериальные

— по направлениям воздействия —
внутренние, внешние

— по глубине воздействия — одноуровневые,
многоуровневые

— по способу принятия — индивидуальные,
коллективные

Культура

В новостях кино, музыки и телевидения также встречается этот глагол. Например:

• «Фонд наследия певца инициирует съемки биографического фильма о жизни Майкла Джексона».
• «Губернатор инициировал социальный телевизионный проект».
• «Мэр инициировал проведение концерта на центральной площади города с участием звезд государственной величины».
• «Издательство инициировало выход книги молодого автора».

В приведенных выше примерах можно увидеть еще один семантический оттенок, которым обладает слово «инициировать». Значение этого глагола – способствовать чему-то, посодействовать в чем-либо.

1.1.Процессы управления и понятие «управленческое решение»

Каждый человек ежедневно принимает
решения различного характера и делает
это в большинстве случаев без особой
подготовки на уровне здравого смысла.
В простых случаях результаты чаще
соответствуют ожиданиям.

В организации принятие УР носит более
систематизированный характер, чем в
частной жизни. Они обладают общими для
всех организаций особенностями, а их
специфика зависит от видов деятельности,
роли руководителя и последствий принятий
решений.

Объектом изучения дисциплиныявляется предприятие (организация,
учреждение), осуществляющее производственную
деятельность и (или) оказание услуг.

Предметом изучения– являются
процессы и методы разработки и принятия
управленческих решений.

Методологической базой являются
дисциплины: «Менеджмент», «Теория
организации», «Психология и педагогика»,
«Социология».

Существует немало современных научных
дисциплин, в разной степени посвященных
вопросам принятия решений. К ним можно
отнести: математическое программирование,
теорию игр, теорию статистических
решений теорию оптимального автоматического
управления, исследование операций,
системный анализ, экономическую
кибернетику.

Изучение всех этих дисциплин связано
с рассмотрением одной и той же проблемы
– научным анализом ряда возможных
способов действия для нахождения
наилучшего варианта.

Разработка и принятие управленческого
решения составляет основу менеджмента.

Решения могут приниматься человеком в
трех основных системах: технической,
биологической и социальной или
социально-экономической.

Социально-экономическая система –
это сложная, вероятностная, динамическая
система, охватывающая производство,
обмен, распределение и потребление
материальных и других благ

Социальная (общественная) система –
характеризуется наличием человека в
совокупности взаимосвязанных элементов,
относительно которого, прямо или
косвенно, принимаются и реализуются
решения.

Эффективность принимаемого решения во
многом зависит от профессионализма
специалиста, а также от его способности
создать стимулирующую среду для
выполнения решения.

Принятие решения–это всегда
выбор действий из нескольких альтернатив,
в простейшем случае из двух: действовать
или не действовать. Это особый
процесс человеческой деятельности,
направленный на выбор наилучшего
варианта действий.

Что такое инициативность

Инициативность — личностное качество, которое выражается в решительности, находчивости, энергичности и предприимчивости. Инициативный человек ответственен — он готов отвечать за свои поступки и их последствия

Главное и важное качество инициативности является осознанность, благодаря которой человек решается  идти к желаемому. С помощью этого качества человек реализует свои идеи в разных областях жизнедеятельности

Чтобы до конца разобраться, что такое инициативность и для чего она нужна, нужно разобраться с термином «инициатива». Простыми словами инициатива — это создание перемен, стремление к чему-то новому. Инициативность проявляется, не потому что человека заставили, а он сам того захотел. Тем самым он проявил инициативу.

Инициативность тесно связана с многими другими качествами. Например, инициативность и самостоятельность проявляется в процессе проявлении воли, быстротой мышления и отсутствием ориентировки на чью-либо помощь. Инициативность не может существовать без открытости новому — только когда человек не будет бояться изменений и захочет их осуществить, поэтому он сможет поменять свою жизнь.

Исполнительность также стоит бок о бок с инициативностью. Связано это тем, что без готовности честно и четко выполнять поставленную перед собой функцию или задачу, человека нельзя назвать инициативным.

Типы управленческих решений

1.
Программируемые
и непрограммируемые решения.

Программируемые
решения построены на базе установленной
политики, правил и порядков.
Запрограммированные решения — результат
реализации определенной последовательности
шагов или действий. Число возможных
альтернатив ограничено. Руководитель
часто программирует решения для ситуаций,
повторяющихся с определенной регулярностью.
Даже в случае аварии должен быть
предварительно разработан план ее
ликвидации

В данном случае важно, чтобы
обоснование алгоритма данного решения
было известно исполнителям

Незапрограммированные
решения требуются в ситуациях новых,
внутренне не структурированных. Такие
решения обычно принимаются в случае
непредвиденных или первично возникших
проблем и, как правило, широко используют
личную инициативу менеджера и его личные
взгляды.

2.
Организационные и персональные решения.

Организационные
решения принимаются менеджером в
соответствии с рамками его официальной
власти и авторитета. Персональные
решения, напротив, принимаются им как
частным лицом.

Организационные
решения часто программируемы в том
смысле, что они могут быть переданы
подчиненным. Например, менеджер,
увольняющий рабочего из-за долгого
отсутствия на работе, принимает
организационное решение. Но если он
увольняет того же рабочего, чтобы
поставить на его место своего родственника,
то это решение основано на личных
причинах, и его можно назвать персональным
решением.

Различие между
организационным и персональным решениями
помогает определить взаимодействие
между субъективными человеческими
факторами (гнев, обида, личные интересы
сотрудника) и объективными организационными
целями и нуждами (соответствием
квалификации сотрудника исполняемым
обязанностям, производственной
конкуренцией)

Различие помогает
менеджеру обратить внимание на главный
вопрос, стоящий за принятием решения:
принято ли оно в интересах организации
или в его собственных интересах

3. Оперативные
и стратегические решения.

Оперативные
решения принимаются на низшем и среднем
уровнях управления и являются, в основном,
частью краткосрочных планов.

Стратегические
решения принимаются в связи с возникающими
сложными проблемами и часто связаны с
такими макроэкономическими переменами,
как состояние экономики, конкуренция
и т.д.

4. Исследовательские
и кризисно-интуитивные решения.

Различие между
этими решениями отражает степень
срочности в процессе принятия решения.

Исследовательское
решение – решение, принимаемое в условиях
достаточного количества времени.
Например, решение проанализировать
спрос для определения природы рынка
будет исследовательским. Кризисно-интуитивное
решение – это спонтанное решение,
принимаемое в ответ на конкретную
опасность.

5. Решение по
выбору возможностей в противоположность
проблемно-разрешающему решению.

Различие между
данными решениями отражает степень
предусмотрительности при принятии
решения. Решение по выбору возможностей
– это решение, принимаемое менеджером,
который ищет пути увеличения получаемой
прибыли. Решение перейти в новую сферу
производства продукции, когда компания
уже получает высокие доходы от своих
нынешних продуктов, является также
решением по выбору возможностей.
Проблемно-разрешающие решения – это
решения, принимаемые в ответ на возникающие
конкретные проблемы.

Разбиение
решений по видам необходимо для анализа
структуры деятельности менеджера:
необходимо сокращать число случайных
и кризисных решений, уделяя больше
времени исследовательским и решениям
по выбору возможностей.

Дали задний ход

Профильный комитете Госдумы изначально, 11 ноября, поддержал законопроект. Однако массовая оппозиция со стороны общественности привела к тому, что в минувшую неделю думские фракции стали одна за другой отказываться от его поддержки — сперва справедливороссы, затем ЛДПРовцы, и наконец, коммунисты. Даже фракция правящей партии, к которой принадлежит глава профильного комитета по госстроительству Павел Крашенинников, в итоге признала, что выносить «закон 2К» на первое чтение сейчас было бы преждевременным.

Против принятия законопроекта высказался и вице-спикер Госдумы Петр Толстой. «Не для того мы принимали поправки в Конституцию, чтобы продолжать заимствовать дурные западные практики», — написал он в своем Фейсбуке. 

Предполагалось, что решение, выносить рассмотрение законопроекта на пленарное заседание или отправить на доработку и дополнительное обсуждение, примет в понедельник Совет Госдумы, куда входят представители всех фракций. Однако Совету ГД в итоге не пришлось этим вопросом заниматься.

Законопроект был внесен в Госдуму 10 июля. После того, как о подготовке «закона 2К» (официально — законопроекта № 986679-7) стало известно, родители направили более 30 тысяч писем протеста против «ювенального террора» в Кремль, на Охотный Ряд, руководству парламентских партий. Всего подписи против законопроекта поставили на сегодня более 120 тысяч человек.

Классификация управленческих решений по частоте повторяемости ситуации

По частоте повторяемости ситуации могут быть выделены решения:

• стандартные;
• творческие.

Стандартные решения принимают в повторяющихся ситуациях, когда изменяются лишь количественные параметры (например, решение о приемке партии сырья). Необходимость принятия стандартных решений возникает часто, поэтому целесообразно разрабатывать типовые приемы их подготовки и реализации. Причем значительная часть разработки таких решений может быть формализована, а следовательно, механизирована и автоматизирована.

Творческие решения возникают в неординарных ситуациях и требуют творческого подхода (например, решение о расширении ассортимента товаров и выборе новых поставщиков). Принятию творческих решений предшествуют анализ ситуации, привлечение материалов специальных исследований, выполнение сложных расчетов и т.п. При принятии таких решений проявляются специальные знания, опыт и даже интуиция менеджера.

Основные элементы

1. Рациональность — этот элемент обеспечивает максимальную точность принятого решения, поскольку ЛПР основывается на объективных расчетах (экономических, финансовых, статистических и других) и имеет возможность просчитать все преимущества и недостатки решения.
2. Интуиция — несмотря на то, что считается нежелательным полностью основываться на ней, она бывает полезна при принятии оперативных решений, так как они требуют практически мгновенной реакции.
3. Суждения — оно также является составной частью решения и многие связывают его с интуицией, однако эти два компонента отличаются, так как суждение опирается на предыдущий опыт ЛПР.

Стадии банкротства

Подобный процесс, вне зависимости от инициатора, имеет определенное количество этапов. Если речь идет о юридическом лице, то они таковы:

• Скрытая стадия.
• Этап, сопровождающийся наличием финансовой неустойчивости и ее выявлением.
• Обращение кредитора в суд, по результатам которого выдается исполнительный лист в связи с невозможностью удержать долг посредством исполнительной службы на протяжении 90 дней.
• Стадия инициации, когда принимается решение о банкротстве с последующим обращением в суд.
• Распоряжение имуществом должника.
• Предприятие мер по финансовому оздоровлению предприятия.
• Переход на внешнее управление.
• Конкурсное производство.
• Мировое соглашение.

Ликвидация всего предприятия не относиться к стадиям банкротства, поскольку является его результатом. Иногда до этого не доходит, если меры по финансовому оздоровлению предприятия дают плоды и позволяют ему выйти из финансового кризиса.

Если должником является частное лицо, ему придется пройти через следующие стадии банкротства.

• Подача иска в суд (инициация).
• Непосредственно сам судебный процесс и определение арбитражного лица, которое будет в дальнейшем курировать ситуацию.
• Составление списка требований кредитора.
• Составление плана по реструктуризации долга.
• Рассмотрение плана судом.
• Если план не был составлен, либо не удовлетворил должника или требования суда — ответчик признается банкротом.

Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Нулевое (тривиальное) решение.

Для начала стоит вспомнить, что такое однородные системы линейных алгебраических уравнений. В теме «Система линейных алгебраических уравнений. Основные термины. Матричная форма записи» вопрос классификации систем осуществлялся подробно, здесь же лишь вкратце напомню основные термины. Итак, система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) называется однородной, если все свободные члены этой системы равны нулю. Например, система $\left \{ \begin{aligned}
& 2x_1-3x_2-x_3-x_4=0;\\
& -4x_1+5x_2+3x_4=0.
\end{aligned} \right.$ является однородной, так как все свободные члены этой системы (т.е. числа, стоящие в правых частях равенств) – нули.

Любая однородная СЛАУ имеет хотя бы одно решение – нулевое (его ещё называют тривиальное), в котором все переменные равны нулю. Подставим, например, $x_1=0$, $x_2=0$, $x_3=0$ и $x_4=0$ в записанную выше систему. Получим два верных равенства:

Однако следствие из теоремы Кронекера-Капелли однозначно указывает на то, что если СЛАУ имеет решение, то есть только два варианта. Либо это решение единственно (и тогда СЛАУ называют определённой), либо этих решений бесконечно много (такую СЛАУ именуют неопределённой). Возникает первый вопрос: как выяснить, сколько решений имеет заданная нам однородная СЛАУ? Одно (нулевое) или бесконечность?

Та однородная СЛАУ, которая рассмотрена выше, имеет не только нулевое решение. Подставим, например, $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$ и $x_4=3$:

Мы получили два верных равенства, поэтому $x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$ – тоже является решением данной СЛАУ. Отсюда, кстати, следует вывод: так как наша СЛАУ имеет более чем одно решение, то эта СЛАУ является неопределенной, т.е. она имеет бесконечное количество решений.

Кстати сказать, чтобы не писать каждый раз выражения вроде «$x_1=1$, $x_2=-1$, $x_3=2$, $x_4=3$», пишут все значения переменных в матрицу-столбец: $\left(\begin{array} {c}
1 \\
-1 \\
2 \\
3 \end{array} \right)$. Эту матрицу тоже называют решением СЛАУ.

Теорема Кронекера-Капелли гласит, что любая СЛАУ имеет решение (совместна) тогда и только тогда, когда ранг ($A$) равен рангу ($\widetilde{A}$), т.е. $\rang A=\rang\widetilde{A}$. Так как мы уже выяснили, что любая однородная СЛАУ имеет решение (хотя бы одно), то для всех однородных СЛАУ $\rang A=\rang\widetilde{A}$. Так как ранги равны между собой, то можно обозначить их какой-то одной буквой, например, $r$. Итак, для любой однородной СЛАУ имеем: $\rang A=\rang\widetilde{A}=r$.

Теперь можно вернуться к вопросу о количестве решений однородной СЛАУ. Согласно следствию из теоремы Кронекера-Капелли, если $r=n$ ($n$ – количество переменных), то СЛАУ имеет единственное решение. Если же $r < n$, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений.

Случай $r=n$ не интересен. Для однородных СЛАУ он означает, что система имеет только нулевое решение. А вот случай $r < n$ представляет особый интерес.

Этот случай уже был рассмотрен в теме «Базисные и свободные переменные. Общее и базисное решения СЛАУ». По сути, однородные СЛАУ – это всего лишь частный случай системы линейных уравнений, поэтому вся терминология (базисные, свободные переменные и т.д.) остаётся в силе.

Что такое базисные и свободные переменные? показать\скрыть